INFO EX 4 Feuille d'ex sur les suites 8 Sept. 2012 TS

                         INFO EX 4       Feuille d'exercices Suites      TS       sept   2012

          

           EXERCICE 4        

                          Soit la suite récurrente  (  u) définie par :

                                    u=  1

                                   un + 1  = - 0,8  un   + 2   pour tout n dans IN

                           Etablir par récurrence que : 

                                             1 ≤ un  ≤ 1,2   pour tout n dans IN.

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     Réponse : 

                           Faisons une récurrence sur IN.

             •n = 0

                          On a :       u=  1

                           Or            1 ≤ 1 ≤ 1,2 

                          Donc         1 ≤ un  ≤ 1,2   pour n = 0

                 • Soit n dans quelconque.

                    Montrons que si     1 ≤ un  ≤ 1,2   alors  1 ≤ un + 1  ≤ 1,2 

                           Considérons    1 ≤ un  ≤ 1,2

                              Multiplions par - 0,8  chaque membre. ( Attention - 0,8 est négatif. )

                             Ainsi            - 0,8   × 1   ≥ - 0,8 × un  - 0 ,8 ×1,2 

                             c-à-d            - 0,8   ≥ - 0,8 ×  un    ≥ -   0,96

                            Ajoutons 2 à chaque membre

                         Il vient         - 0,8  + 2  ≥ - 0,8 ×  un   + 2    ≥  - 0,96 + 2

                        c-à-d             1, 2    un + 1   ≥ 1,04

                         c-à-d            1,04    ≤    un + 1      ≤   1,2       mais  1 ≤ 1,04

                         Donc         1      ≤    un + 1      ≤   1,2    

             Conclusion:  L'encadrement  1 ≤ un  ≤ 1,2   est vrai pour tout n dans IN