INFO EXTRAIT D'EX BAC

INFO EXTRAIT D'EX BAC

                INFO EXERCICE DE BAC    SUR LES NOMBRES COMPLEXES   ( EXTRAIT )                  JUIN 2009        TS          

             EXERCICE 2                ( EXTRAIT )

             Partie A

              On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante:

                          ( E ) :  z3 + 2 z 2 - 16 = 0

              1. Montrer que 2 est une solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la

                  forme :

                   ( z - 2 ) ( a z 2  + b z  + c ) = 0 

                   où a , b , c   sont trois réels que l'on déterminera.

                  Réponse:

                  • •      OUI.   2 est solution de ( E )       

                             car    23 + 2 × 22- 16 =  8 + 8 - 16 =0 .        

                  • •      Ainsi  z3 + 2 z 2 - 16  est factorisable par z - 2.

                            Il existe un polynôme du second degré  a z 2  + b z  + c

                           tel que :   z3 + 2 z 2 - 16  = ( z -  2 )  (  a z 2  + b z  + c  )  

                           pour tout nombre complexe z.

                           Pour trouver  a z 2  + b z  + c   on peut utiliser la division pour x distinct de 2. 

                           ( Ce n'est pas la seule méthode. )

          z3 + 2 z 2 - 16  |   z -  2
    - (  z3 - 2 z 2  ) |   z² + 4 z + 8
  -------------------- |
           4 z²            - 16 |
     - (  4 z²  - 8 z ) |
   -------------------- |
                   8 z - 16 |
              - (  8 z - 16 ) |
               ----------------- |
                     0 |

         Le reste est nul .

        Ainsi :  z3 + 2 z 2 - 16  = ( z -  2 ) (   z² + 4z + 8   )

               ( E )  s'écrit   ( z -  2 ) (  z² + 4z + 8 ) = 0

                 Conclusion :  a = 1         b = 4           c  = 8            

            2. En déduire les solutions de l'équation ( E )  sous la forme

                  algébrique.

                   Donner les coordonnées polaires de chacun des points

                  images de ces nombres complexes.

            Réponse:

          •       ( E )  s'écrit   ( z -  2 ) (  z² + 4z + 8 ) = 0

                    c-à-d   z = 2   ou   z² + 4z + 8  = 0

                 Résolvons à présent  :   z² + 4z + 8  = 0

                  a = 1       b ' = 2        c = 8

                   Ainsi :     Δ '  = b ' ² - ac

                    c-à-d      Δ '  = 4 - 8 = - 4

                                 Δ ' < 0

                    On a :             Δ '  = ( 2 i  )²

           Les solutions sont :

                 ( - b ' - i √|  Δ ' | ) / a  =  - 2 - 2 i

                  ( - b ' + i √|  Δ ' | ) / a  =  - 2 + 2 i

            Conclusion pour ( E ).

              L'ensemble solution dans l'ensemble des nombres complexes est:

                    { 2 ;  - 2 - 2 i  ;  - 2 + 2 i }

            • Cherchons les coordonnées polaires de chacun des points images:

                    A( - 2 - 2 i )  , B( 2 ) , C ( - 2 + 2i ).

               •• Pour A( - 2 ; - 2 ):                      OA = | - 2 - 2 i | = √( ( - 2 )² + 2²  ) = √8      

                                                Considérons :   cos θ = - 2 / √8  = - 2 / ( 2 √2) = - √2   / 2

                                                                         sin θ = - 2 / √8  = - √2   / 2

                                                            Donc            θ = 5 π / 4     convient

                     On peut prendre:       A [ √8 ;  5 π / 4  ]

               •• Pour B( 2 ; 0 ) :                OB = 2

                                               cos θ  =  2 / 2 = 1

                                                sin θ    = 0 / 2

                                              Donc            θ = 0     convient

                                On peut prendre:        B [ 2 ;  0  ]                      

               •• Pour C( - 2 ; 2 ) :

                             C'est le symétrique de A par rapport à l'axe des abscissesC

                                    On peut prendre:        C [ √8 ;  - 5 π / 4  ]

           Partie B

                   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

                 ( O ; vect( u ) , vect( v ) ).

              1. Placer les points A, B et D d'affixes respectives :    

                    zA  =  - 2 - 2 i                  zB  = 2            zD   =  - 2 + 2 i

                    Réponse:

                                       

                            Aucune difficulté particulière.                 

              2. Déterminer l'affixe du point C de façon que le quadrilatère ABCD soit

                   un parallélogramme.

                    Réponse:

                        On utilise :   vect( AB ) = vect( DC )

                           c-à-d                      zB - zA = zC - z D

                       D'où             zC    = z D   + (  zB - zA )

                        (  C est l'image de D par la translation de vecteur vect( AB ) ( 4 + 2 i )   )

                                          zC    =  - 2 + 2 i + 2 - (  - 2 - 2 i  )

                                         zC    = 2 i + 2 + 2 i = 2 + 4 i

                         Ainsi :    

                         Conclusion:       zC    = 2 + 4 i 

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