EX1 PROD SCAL 1S AVRIL 09

  EXERCICES   SUR LE PRODUIT SCALAIRE         AVRIL 09          1S

       EXERCICE 1

         Soit ABC un triangle tel que :

         AB = 3   AC = 4    BC = 6

         Soit I le milieu du segment [BC].

          1. Faire une figure.

          2. On veut trouver la distance AI.

              a. Exprimer AI² en fonction de cos( B ).

              b. Exprimer AC²  en fonction de cos( B ).

              c. En déduire AI.

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        Réponse :

        1.Figure.  

         2.   a.

                         On a  dans le triangle ABI:

                          AI² = AB² + IB² - 2  AB × IB  COS( B )                L1

               b. 

                          On a dans le triangle ABC:

                          AC² = AB² + BC² - 2 AB × BC  cos( B )                  

                         c-à-d     comme BC = 2 IB

                        AC² = AB² + BC² - 4 AB × IB  cos( B )              L2      

                   L'objectif est à présent d'éliminer le terme   AB × IB  COS( B ) 

                   entre les deux équations.

              c.  Ainsi en considérant     2  L1   -    L2      il vient :

        2 AI² - AC²  = 2 ( AB² + IB² - 2  AB × IB  COS( B )  ) - ( AB² + BC² - 4 AB × IB  cos( B ) )

        c-à-d   2 AI²  = AC²  + 2 AB² + 2 IB²  - AB² - BC²

        c-à-d        2 AI² = AC² + AB² - BC² + 2 IB²

        c-à-d   2 AI²  = 16 + 9 - 36 + 2 ( 9 ) = 7    en utilisant les informations de l'énoncé.

      c-à-d    

     Conclusion: 

                                AI = √( 7 / 2 )