INFO EX 3 BAC S 2013

                    INFO  EXERCICE 3    BAC S 2013

 

             EXERCICE 3           4 POINTS

              1. Proposition 1.

                  Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points M dont

                   l'affixe z vérifie l'égalité  | z - i | =  |z + 1 | est une droite.

                   OUI.

                    En effet:

                      Cette égalité s'écrit:    | z - i | = | z - ( -  1 ) | 

                       en considérant les points A( i ) et B ( - 1 )  elle se traduit par 

                                             MA = MB

                  L'ensemble des points M( Z ) qui la vérifient est donc la médiatrice du segment [ AB ]

                2. Proposition 2 . Le nombre complexe ( 1 + i √3 )4     est un nombre réel.

                      NON.

                     En effet:

                     ( 1 + i √3 )4   = ( 1 - 3 + 2 i√3 )2  =  ( - 2 + 2 i√3 )2   = 4 - 12 - 8 i √3 = - 8 - 8 i √3

                         - 8 √3 ≠ 0

                3. Soit ABCDEFGH un cube.

                                    cube1.png   

                                    cube.png

                     Proposition 3 : Les droites ( EC ) et ( BG ) sont orthogonales.

                     OUI.

                       Considérons:

                                     chas.png

                               d'après  Chasles

                   Donc  en considérant le produit scalaire on a:

                                prdsc-1.png

                   c-à-d

                               devl.png                                                      

              La somme de ces deux produits scalaires du membre de droite est nulle.

               En effet:                       

                •  L'arête [ EF ] est orthogonale au plan ( BCGF ) donc à [BG].

                             Ainsi :  

                             prscl.png

                   • La diagonale [FC] du carré BCGF est orthogonale à l'autre diagonale [ BG].

                      Ainsi :

                                   praus.png 

                Donc la somme de ces deux produits scalaires est bien nulle.

                 On a :          prauos.png

                 Les droites ( EC ) et  ( BG )  sont orthogonales.

          4. L'espace est muni d'un repère orthonormé

                        repere-ortho.png

             Soit le plan P d'équation cartésienne   x + y + 3 z + 4 = 0

              Proposition 4.

                 La droite qui passe par le point S( 1 ; - 2 ; - 2 ) et qui est perpendiculaire au plan

                  P  a pour représentation paramétrique :

                     x = 2 + 1 t

                     y = - 1 + 1t

                     z = 1 + 3 t                   t réel

                     OUI.

                •  Le vecteur de coordonnées ( 1 ; 1 ; 3 ) est bien un vecteur normal à P.

                   Il s'agit bien d'une droite orthogonale au plan P .

                •  Elle passe bien par le point S

                     car pour t = - 1    on  a:    x = 2 + t  = 1 - 1 = 1

                                                             y = - 1 + t = - 1- 1  = - 2

                                                             z = 1 + 3 t = 1 - 3 = - 2

                                             qui sont le coordonnées du point S

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