EX 1 NOMBRES COMPLEXES

                                REVISIONS  EXERCICE 1    NOMBRES COMPLEXES                  TS                 Juin 2011

            EXERCICE 1:

                   Soit l'équation ( E ) :   z3 +  z 2  + z - 3 = 0

                     1. a. Déterminer une solution entière de ( E ).        

                        b. Résoudre ( E ) dans  l'ensemble des nombres complexes.

                    2. Soit A , B , C les images de des solutions de ( E ) dans le plan complexe.

                          Donner la nature du triangle ABC.

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          Réponse:

                       1. Déterminons une solution entière de ( E ).

                             Nous voyons que la somme des coefficients est égale à 0.

                                 1 + 1 + 1 + 1 - 3 = 0

                                1 est donc une racine évidente.

                         Conclusion: une solution entière de ( E ) est 1.

                     2. Résolvons  ( E ) dan l'ensemble des nombres complexes.

                                 z3 +  z 2  + z - 3  est factorisable par     z - 1

                                Utilisons la division:

     z3 +  z 2    + z  -  3  |  z  - 1 
- (  z3 - z 2  ) |   z 2   + 2 z  + 3
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         2 z 2   + z
      - (  2 z 2   - 2 z  )
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                         3 z     - 3
                    - ( 3 z     - 3)
                         ----------
                                0

                   Ainsi :        z3 +  z 2  + z - 3  = ( z - 1 ) (  z 2   + 2 z  + 3  )

               Donc;         ( E )  équivaut à       z - 1 = 0       ou      z 2   + 2 z  + 3  = 0

              Résolvons :  z 2   + 2 z  + 3  = 0              a = 1     b ' = 1       c = 3

                                     Δ'   = b' 2   - a c             (     Δ =   b 2   -  4 a c  = - 8     )

                c-à-d             Δ'   = 1 - 3 = - 2

                c-à-d              Δ'    < 0   

                 Les racines sont :    ( - b ' - i √| Δ' | ) / a    =  - 1 -  i √ 2           (  c-à-d  ( - b  - i √| Δ | ) / ( 2 a )  ;    ( - b  + i √| Δ | ) / ( 2 a ) )

                                                      ( - b '  + i  √| Δ' | ) / a    =  -1 + i √ 2

                        (  c-à-d                ( - b  - i √| Δ | ) / ( 2 a )  ;    ( - b  + i √| Δ | ) / ( 2 a )                )

               Conclusion :   S = { 1 ;  - 1 -  i √ 2    ;   - 1 + i √ 2   }

             2. Nature du triangle ABC.

                         

              Soit les points A ( 1 ) , B (   -1 -  i √ 2   )  et C (  - 1 + i √ 2    )

              L'affixe de vect ( AB) est :    -1 -  i √ 2  - 1 =  - 2 -  i √ 2

             L'affixe du vect( AC )  est :     - 1 + i √ 2  - 1 =  - 2 + i √ 2

             Donc          || vect( AB ) || = √ (  ( - 2 )²  + ( - √ 2 )²  ) =  √6

                                  || vect( AC ) || = √ (  ( - 2 )²  + ( √ 2 )²  ) =  √6

                 Conclusion :   Le triangle ABC est isocèle en A ( 1 ) .

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