INFO EXERCICE TS2 16 /12/11

                       INFO  EXERCICE               TS2               16 Décembre 2011

          EXERCICE

               Soit la fonction f : x → xe- x + 1 - x

              Soit ( Cf ) sa courbe représentative dans un repèrer orthonormal du plan.

                                         ex70.jpg

              a. Calculer les limites de f en -∞ et en + ∞.

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             Réponse:

                    Df = ] - ∞ ,+ ∞ [

                     -∞ et +∞ sont des extrémités de l'intervalle de définition.

                   On peut faire la recherche.

                • en - ∞

                     Soit x dans IR quelconque.

                     On peut factoriser partiellement x pour éviter une forme indéterminée.

                       f( x ) = x ( e- x    - 1 )  + 1

                   On a :

                    lim x ( e- x   - 1 )  =   - ∞     

                    x → - ∞                                  

                     En effet :

                               car     lim e- x    = lim e X    = + ∞

                                           x → - ∞       X → +∞

                          Donc                         

                         lim x ( e- x   - 1 =   ( - ∞  ) ×( +∞ - 1 )) = - ∞     

                          x → - ∞                      

           ◊   Avec l'expression complète

                         lim [  x ( e- x    - 1 )  + 1 ] = - ∞

                             x → - ∞      

                   Conclusion :     lim f = - ∞

                                          - ∞             

               en + ∞

                ◊    On a :

                               lim x ( e- x    - 1 )    =  - ∞      

                                 x → + ∞

                 En effet :

                 On d'après le cours        lim   e X    =    0

                                                       x → - ∞

        Ainsi

     lim ( e- x    - 1 ) =  lim  ( eX    - 1 ) = 0 – 1 = - 1

      x → + ∞                X → - ∞

          ◊   D'où   pour l'expression complète:

                         lim [ x ( e- x    - 1 ) + 1]  =  = + ∞ × ( - 1 ) + 1 = - ∞

                          x → + ∞                

        Donc:

                         Conclusion :     lim f = - ∞

                                                + ∞ 

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       b. Calculer  f ’ ( x ) .

            Montrer que f ’ ( x ) =  e- x    h(x ) où h

             est une fonction que l’on précisera.

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             Réponse :

                  Soit x dans IR.

                   On a :        f( x ) = x ( e- x    - 1 )  + 1

                   Soit  les fonctions      u : x → x   et  v : x →  e- x    - 1

                   On a :   f = u × v + 1

                   Comme u et v sont définies et dérivables dans IR,

                   f  l'est aussi .

                   Il vient :   f ' = u ' × v + u  × v '

                   avec  u ' : x 1    et  v ' : → - e- x

                Soit x dans IR 

               On a :    f ’ ( x ) =  1 ×( e- x    - 1 ) + x ( - e- x  )

 c-à-d           f ’ ( x ) =  e- x  - 1 - x  e- x  

  c-à-d            en factorisant   e- x

                f ’ ( x ) =   e- x  ( - x   +  1 - e x   )

                Posons    h( x ) =  - x   +  1 - e x    

               On a bien l'écriture   f( x ) = e- x   h ( x )

              Conclusion :  On a bien l’écriture damandée pour f ’(x)    

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             c. Rappeler, suivant les valeurs de x le signe de  1 - e x   .

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                 Réponse :

   On sait :

         1 - e x    > 0    s’écrit          e 0 >  e  x    c-à-d     0 > x 

 

et      1 - e x    < 0    s’écrit          e 0 <  e  x    c-à-d     0 < x 

 

      Enfin             1 - e x    =  0    s’écrit  x = 0     

    Conclusion:

x -∞                                    0                                                       +∞   
1 - e x              +                         0                 -                                             

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 d. En déduire que , si x > 0 alors      1 - e- x  < 0

   et  si x < 0  alors  1 - e- x  > 0 . 

    Etudier le sens de variation de f.

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   Réponse :

    • Soit x < 0     alors  - x > 0

         Or     1 - e x   > 0   

        Par somme membre à membre :  1 - e- x > 0

        c-à-d        h( x ) > 0

        Comme     e -x  > 0

        on a        e -x  h(x ) > 0

       c-à-d          f '(x )  > 0

     Soit x > 0     alors    - x < 0

           Or      1 - e x   < 0 

             Par somme membre à membre 1 - e- x < 0

              c-à-d        h( x ) < 0                   

               Comme     e - x  > 0

                 on a        e - x  h(x ) < 0

                c-à-d         f ' ( x ) < 0

     D'autre part:   

                         h( 0 ) = 0- 0 = 0

                         f '( x ) = 0 ssi   x = 0

          Conclusion :  f est strictement décroissante sur IR+  

                    f est croissante strictement sur IR-

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   e . Montrer que la droite d d'équation y = - x + 1 est asymptote à ( Cf  ).

        Etudier les positions relatives de d et   ( Cf  ).

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         Réponse:

        Soit x dans IR.

         f( x ) = xe- x + 1 - x

        c-à-d   

          f( x ) - ( - x + 1 ) = xe- x 

            Or on a déjà vu que :        lim   xe- x  = 0

                                                      x → +∞

         Ainsi         lim ( f( x ) - ( - x + 1 ) ) = 0

                           x → +∞

      Conclusion :   Oui la droite d : y =- x + 1 est une asymptote

                  en  + ∞  à ( Cf  ).

         De plus comme exp > sur IR , xe- x  est du signe de x.

         Ainsi   f( x ) - ( - x + 1 )  est du signe de x .

x - ∞                                              0                                                  + ∞
f( x ) - ( - x + 1 )                    -                    0                    +

               Conclusion :

         Sur l'intervalle    ] - ∞ ,  0  [   ( Cf  )   est au dessous de d.

        Sur l'intervalle     ] 0 , + ∞  [   ( Cf  )   est au dessus de d.

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  f. Démontrer qu'il existe un point A de ( Cf ) tel que la tangente en A soit 

        parallèle à d .

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       Réponse:

             Le cœfficient directeur de d est - 1.

            Cherchons  x dans IR tel que f '( x ) = - 1.

             Soit x dans IR.

          f '( x ) = - 1 s'écrit    

           c-à-d        e- x  - 1 - x  e- x   = - 1

            s'écrit     e- x    - x  e- x   = 0  

           c-à-d   en divisant par e- x  qui est non nul

                        1 - x = 0

          c-à-d     x = 1

             On a:     f( 1 ) =  e- 1      

          Conclusion :   A( 1 ; e-1 ) la tangente à la courbe ( Cf  ) est parallèle à d.