INFO TEST2 MATR. SYST. NOV 09

 NOM: .... X                Prénom:  .....                    Date: 24 / 11 / 09             Classe: BTSB

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 Soit les matrices :                 

 /   0 1  -1 \
M= | - 3 4 - 3  |
 \ - 1 1   0 /

 et

 / 1 0 0 \
I  = | 0 1 0  |
 \ 0 0 1 /

   Trouver M2  et  M3  .

                 On  a :  

  / - 2   3 - 3 \
M2 = | - 9  10 - 9   |
 \ - 3   3 - 2 /

        On  a  :       M3     =  M2  ×  M

          Ainsi:                  

  / - 6   7 - 7 \
  M3  = | - 21  22 - 21   |
 \ - 7   7 - 6 /

    Trouver deux réels a et b tels que :     M2  = a M + b I

                 On  a  :             

  / b   a - a \
  a M+ b I  = | - 3 a  4 a + b - 3 a   |
 \ - a   a b /

 Donc   M2      = a M + b I  se traduit par :

 / - 2 3  - 3 \  / b a - a \
| - 9 10 - 9    |   =  | - 3 a 4 a + b - 3 a   |
 \ - 3 3 - 2 /  \ - a a b /

   Cela se traduit par un système de 9 équations et deux inconnues a et b .

      On obtient

- 2 = b   3 = a        - 3  = - a
 9 = - 3a             10 = 4 a + b - 9 = - 3 a
- 3 = - a 3 = a  - 2 = b
          Ainsi on a :   a = 3 et  b = - 2

 Exprimer alors M3  en fonction de M et I. Retrouver M3  .

         On a:  M2  = a M + b I  qui s'écrit    M2  = 3 M - 2  I 

      Donc                M × M2  =   M × ( 3 M - 2  I  )

      c-à-d               M3  =     3  M2   - 2  I × M

      c-à-d                M3  =    3  M2   - 2  M

        Or :                    M2  = 3 M - 2  I 

     Donc                 M3  =     3 (   3 M - 2  I  )- 2   M

        c-à-d              M3  =    9 M - 6  I  - 2  M

        c-à-d             M3  =    7 M - 6  I  

  / 0 - 6   7 -2( 0 ) - 7 - 6 ( 0 ) \
   7 M - 6  I   = | - 21 - 6 ( 0 )  28- 6 - 21 -6 ( 0 )   |
 \ - 7 - 6 ( 0 )   7- 6 ( 0 )  0 - 6 /

c-à-d

  / - 6   7 - 7 \
   7 M - 6  I   = | - 21  22 - 21   |
 \ - 7   7 - 6 /

                                 On retrouve bien la matrice M3 du début .

  Montrer que   I  =  ( 1 / 2 ) M ( 3 × I - M ).

        On a l'égalité :  M2  = 3 M - 2  I 

                             c-à-d                      2 × I  = 3 M -   M2   en transposant

                             c-à-d                       2 × I  = M × ( 3 I  -  M )  en factorisant M   

                             c-à-d    en divisant par 2 les deux membres: 

                                     

 Trouver une matrice P telle que M × P = I .

               L'égalité précédente peut s'écrire  permutant M et 1/2

               dans le membre de droite:

              On obtient :     I  =   M × ( 1 / 2 ) × ( 3 × I - M ).

                Prenons    P =   ( 1 / 2 ) × ( 3 × I - M ).

                On a bien :  M  × P = I               

  /        3 - 0  0 - 1 0 - ( -1 ) \
  ( 1 / 2 ) × ( 3 × I - M ) =( 1 / 2)  × | 0 - ( -3 )  3 -4 0 - ( - 3 )   |
 \ 0- ( -1 )   0 - 1 3 - 0   /

    c-à-d 

  /   3  / 2  - 1 / 2    1 / 2   \
  P = ( 1 / 2 ) × ( 3 × I - M ) = |  3 / 2  - 1/ 2    3 / 2     |
 \ 1 / 2   - 1 / 2 3 / 2   /

Calculer aussi   P × M.

               On obtient   P × M = I   aussi.

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