DV n °4 TS Spé maths déc.2015

                   Devoir maison n°4           2015   spé  maths

           EXERCICE :

                        u0 = 0

                       v0 = 1

                    Grt47

       Le but de cet exercice est d'étudier la convergnece des suites ( un ) et ( vn ).

    1. Calculer u1 et v2 .                     

  2. On considère l'algorithme suivant:

         Agl1

  2. a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2.

           Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des

         variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

 k    w      u    v
1               
2               

     b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme 

        par rapport à l'estimation étudiée dans cet exercice.

3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonne Xn  par 

            X478 2

     et la matrice A par :

                  Le45

      a. Vérifier que , pour tout entier naturel n, Xn + 1 = A Xn .

      b. Démontrer par récurrence que Xn = An X0.

  4. On définit les matrices P, P ' et B par:

          Pio56

        a. Calculer le produit P P '.

                On admet    P' B P = A

                Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,  An = P' Bn P.

     b . On admet que pour tout entier naturel.

                     Put57

            En déduire l'expression de la matrice An en fonction de n.                        

    5. a. Montrer que pour tout entier naturel n : 

                   Dme473

           En déduire les expressions de un et vn en fonction de n.       

        b. Déterminer alors les limites des suites ( un ) et ( vn ).       

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