EX 0 EPREUVE DE BTS BTS1 MATRICES ET SYSTEMES LINEAIRES Mars 2009
EXERCICE. 0
Soit les matrices M , I , X , Y respectivement égales à
| / -1 | -3 | 0 \ |
| | 1 | -1 | 0 | |
| \ 1 | 3 | 2 / |
| / 1 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
| / x \ |
| | y | |
| \ z / |
| / a \ |
| | b | |
| \ c / |
où x , y , z , a , b , c sont des nombres réels.
On considère le système d'équations :
- x - 3 y = a
x - y = b noté ( S )
x + 3 y + 2 z = c
1. Montrer que résoudre le système ( S ) à trois inconnues x , y , z équivaut
à résoudre l'équation ( E ) : MX = Y , où l'inconnue est la matriceX.
Il apparaît que M X est la matrice :
| ⁄ - 1 | -3 | 0 \ | / x \ | / - x - 3 y \ |
| | 1 | -1 | 0 | × | | y | = | | x - y | |
| \ 1 | 3 | 2 / | \ z / | \ x + 3 y + 2 z / |
Ainsi M X = Y se traduit par :
| / - x - 3 y \ | / a \ | |
| | x - y | | = | | b | |
| \ x + 3 y + 2 z / | \ c / |
c-à-d - x - 3 y = a x - y = b x + 3 y + 2 z = c
Conclusion:
( S ) s'écrit :
| ⁄ - 1 | -3 | 0 \ | / x \ | / a \ |
| | 1 | -1 | 0 | × | | y | = | | b | |
| \ 1 | 3 | 2 / | \ z / | \ c / |
c-à-d M X = Y
2. a. Calculer M2 , M3 .
M² =
| / -2 | 6 | 0 \ |
| | -2 | -2 | 0 | |
| \ 4 | 0 | 4 / |
et M3 =
| / 8 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 8 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 8 / |
b. Exprimer M3 en fonction de I .
On finalement M3 = 8 × I
3. a. Montrer que : MX = Y équivaut à : X = ( 1 / 8 ) M² Y.
On a : MX = Y équivalent à M² MX = M² Y
c-à-d MX = Y équivalent à M3 X = M² Y
c-à-d MX = Y équivalent à 8 × I X = M² Y
c-à-d MX = Y équivalent à 8 X = M² Y
c-à-d MX = Y équivalent à X = ( 1 / 8 ) M² Y
Conclusion : On bien l'égalité demandée.
b. En déduire la résolution du système ( S ) .
M2 Y est la matrice
colonne:
/ -2 a
+ 6 b
+ 0 \
| -2 a
- 2 b
+ 0 |
\ 4 a
+ 0
+ 4 c /
c-à-d
| / - 2a + 6 b \ |
| | - 2 a -2 b | |
| \ 4 a + 4 c / |
Ainsi la matrice ( 1 / 8 ) M² Y est :
/ - ( 1 / 4 ) a + (3 / 4) b \
| - ( 1 / 4 ) a - ( 1 / 4 ) b |
\ ( 1 / 2 )a +( 1 / 2) c /
Donc la matrice solution X est la matrice
| / - ( 1 / 4 ) a + (3 / 4) b \ |
| | - ( 1 / 4 ) a - ( 1 / 4 ) b | |
| \ ( 1 / 2 )a +( 1 / 2) c / |
Conclusion: S = { ( - ( 1 / 4 ) a + (3 / 4) b , - ( 1 / 4 ) a - ( 1 / 4 ) b , ( 1 / 2 )a +( 1 / 2) c ) }
c. Donner les solutions de ( S ) lorsque a = 3 , b = - 5 et c = 4.
Alors la matrice X est :
/ - ( 1 / 4 ) 3 + (3 / 4) ( - 5 ) \
| - ( 1 / 4 ) 3 - ( 1 / 4 ) ( - 5 ) |
\ ( 1 / 2 ) 3 +( 1 / 2) 4 /
c-à-d
| / - 9 / 2 \ |
| | 1 /2 | |
| \ 7/ 2 / |
Conclusion : x = - 9 / 2 y = 1 / 2 z = 7 / 2
On écrit : S = { ( - 9 / 2 , 1 / 2 , 7 / 2 ) }
--------------------------------------------------------------------------------------------------