INFO EX4 BAC S JUIN 2010

                                     INFO     EXERCICE  4          BAC S              22   JUIN    2010

                    1. a.  Montrons que:

                                                          

                           On a :

                                               ( 1 + i √3 )²  - 4(  1 + i √3 )

                              Mais:      ( 1 + i √3 )²  - 4(  1 + i √3 ) = 1 - 3 + 2 i √3 - 4 - 4 i √3

                      c-à-d        ( 1 + i √3 )²  - 4(  1 + i √3 ) = - 6 - 2 i √3

                     D'autre part :  

                                                      2 (1 -  i √3 )  - 8 

                               Mais :     2 ( 1 - i √3) - 8 = 2 - 2 i √3 - 8 = - 6 - 2 i √3

                           Conclusion:    L'égalité est bien prouvée.

                  b. Montrons que les points B(    ) et C (   ) sont sur le cercle

                     de centre O et de rayon 2.     

                         Il suffit d'établir que :  OB = 2   et OC = 2

                         On a :   OB = |   |       et   OC = |  |

                          Mais   |   | =  |  |

                        Il suffit donc de voir si l'on a :    |   | = 2

                                      |   | =  √  ( 1² + ( √  3 )²  ) = √ 4 =2

                       Conclusion:    Le résultat est prouvé.

             2. Soit le point D(    ) avec  θ  dans l'intervalle ]  -  π , π ].

                        a. Représentation du point E image du point D par la rotation r

                             de centre O et de rayon  π  / 3.

                           Voir la figure ci-dessous.

                          

                    b. Justifions que l'affixe de E est:  

                              

                       La traduction complexe de la rotation r ( O ;  π  / 3   )  est:

                               Z ' - zO  =  ei ( π / 3 )    (  Z  - zO    )

                     Comme E = r( D ) , on a : 

                                           zE  -    zO      =  ei ( π / 3 )    (  zD -   zO   )

                     Mais:           zO  =   0  

                    Donc :          zE   =  ei ( π / 3 )    zD                       

                        Or:           zD   =  2  ei θ                         

                      Ainsi :      zE   =  ei ( π / 3 )     2  ei θ       

                       c-à-d        zE   = 2 ei ( π / 3 )   ei θ      

                     Mais        2 ei ( π / 3 )   =  2 ( cos ( π / 3 ) + i sin( π / 3 ) )        

                   c-à-d          2 ei ( π / 3 )   =  2 (   1 / 2    + i   √ 3   / 2   ) = 1 + i  √ 3  

                  c-à-d             2 ei ( π / 3 )   = 

                     Donc:

                                 Conclusion:                

                  3. Soit F et G respectivement les milieux des segments [BD] et [ CE].

                    a. Justifions que l'affixe de F est : 

                                                ZF   =  / 2    +   ei θ 

                        On  a :     ZF   = ( ZB   +  ZD   ) / 2

                        Or           ZB    =          et     ZD    =  2 ei θ  

                        Donc:        ZF   =  (       + 2 ei θ   ) / 2

                        c-à-d         ZF   =  / 2    +   ei θ  

                                   Conclusion: ZF   =  / 2    +   ei θ  

                       b. On admet que le point G a pour affixe   ZG   = (ei θ   +   ) / 2 .

                          Cela résulte en fait simplement de    ZG   = ( ZE   +  ZC   ) / 2    .

                                 

                        •  Démontrons que  (  ZG    - 2 ) / (  ZF   - 2 ) =   / 2  .

                         Commme  ZF - 2  ≠ 0   , Il suffit de montrer que : 

                                 2 ( ZG   - 2 )   =   ( ZF - 2  )

                           Or :

                                ¤   2 ( ZG   - 2 )  = 2 ( (ei θ   +   ) / 2  - 2 ) =     ei θ   +       -  4 

                                ¤     ( ZF - 2  ) =   (  / 2    +   ei θ  - 2 ) =  / 2  +  ei θ - 2 

                                        c-à-d       ( ZF - 2  ) =  ei θ  +      / 2  - 2    

                         De plus : 

                                                  

                                 c-à- d     en divisant par 2

                                           / 2   - 2     =     - 4   

                                 On a donc bien montré:  2 ( ZG   - 2 )  =    ( ZF - 2  )

                                   Ce qui suffit pour pouvoir affirmer:

                                    Conclusion:    (  ZG    - 2 ) / (  ZF   - 2 ) =   / 2  .

                          •  Montrons que le triangle AFG est équilatéral.  

                            L'égalité précédente peut s'écrire:

                                 ( ZG   - 2 )  = ( / 2 )   ( ZF - 2  )

                                  Or on a vu que:     2 ei ( π / 3 )   = 

                                                  c-à-d       / 2  =  ei ( π / 3 )  

                                  Ainsi:   ( ZG   -   ZA  )  =  ei ( π / 3 )  ( ZF  -   ZA  )  

                                   La traduction complexe de la rotation R de centre A( 2 ) et

                                   d'angle  π / 3 est:

                                              ( Z '   -   ZA  )  =  ei ( π / 3 )  ( Z  -   ZA  )  

                                   Donc le point G est l'image du point F par la rotation

                                   de centre A ( 2 ) et d'angle  π / 3  .

                                    ( Ce n'est pas la seule méthode. )

                              Conclusion:   En conséquence le triangle AFG est équilatéral.                                           

           4. On admet que :   AF² = 4 - 3 cos θ  +  √3 sin θ 

                Soit la fonction f: x →  4 - 3 cos x  +  √3 sinx  .

               Sur l'intervalle [ - π  ,  π ]  complétons le tableau de variations proposé

               de la fonction f .

                               

                

                 Conclusion:  Pour  θ = - π / 6     AF² est minimale .