INFO TEST BTS1A 1/12/09

             INFO TEST               NOM : X           Prénom :   X Date: 1 Déc. 09        Classe: BTS1A

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• Soit G un graphe de sommets ABCDEF. Le tableau des prédécesseurs est :

Prédécesseurs Sommets
A
A B
A C
B D
B C E
D E F

•• Donner la matrice M adjacente à G. 

 Il y a 7 arcs  et 6 sommets.   

  / 0 1 1 0 0 0   \
| 0 0 0 1 1 0    |
| 0 0 0 0 1 0    |
M  = | 0 0 0 0 0 1    |
| 0 0 0 0 0 1    |
   \ 0 0 0 0 0 0   /

•• Déssiner G.

                                     

.•• Trouver M2

 

  / 0 0 0 1 2 0   \
| 0 0 0 0 0 2    |
| 0 0 0 0 0 1    |
M²  = | 0 0 0 0 0 0    |
| 0 0 0 0 0 0    |
   \ 0 0 0 0 0 0   /

 •• Trouver M3

  / 0 0 0 0 0 3   \
| 0 0 0 0 0 0    |
| 0 0 0 0 0 0    |
M3  = | 0 0 0 0 0 0    |
| 0 0 0 0 0 0    |
   \ 0 0 0 0 0 0   /

•• Y a-t-il des chemins de longueur 2 ? Précisez les.

 Il y en a:     1 + 2+ 2+1  = 6

      Il y en 1 de A à D :      ABD 

      Il y en a 2 de A à E :    ABE     ACE 

      Il y en a 2 de B à F :     BDF      B EF      

      Il y en a 1 de C à F:       CEF       

•• Combien y a -t-il de chemins de longueur 3 arrivant à B ?

Il y en a  0  car la colonne de B dans M3  n'a que des 0.

•• Donner les niveaux des sommets.

Prédécesseurs Sommets Niveaux
A 0
A B 1
A C 1
B D 2
B C E 2
D E F 3

  •  Résoudre  dans IR3 le système :

     2 x - 3 y + z = 6         L1

      x + 2 y + 3 z = 2       L2

       x + 2  y + z = 5        L3

  Considérons  L2     ↔       L1     

  On obtient le système équivalent suivant:

       x + 2 y + 3 z = 2      L1   

         2 x - 3 y + z = 6         L2       

          x + 2  y + z = 5       L3       

     Considérons:

                   L2     ←       L2     -   2   L1    

                 L3       ←       L3     -      L1     

   On obtient le système équivalent suivant: 

     x + 2 y + 3 z = 2           L1   

            - 7 y - 5 z = 2           L2       

                     - 2 z = 3          L3   

    Alors :       L3      donne  z = - 3 / 2

        Puis     L2       donne     - 7 y = 2 + 5 z = 2 + 5( - 3 / 2 ) =  - 11 / 2

                                              y =   11 / 14

          Enfin      L1       donne x = 2 - 2 y - 3 z = 2 - 2( 11 / 14 ) - 3(  - 3 / 2 )

                                         x =  2 -  22 / 14   + 9 / 2 = 28 / 14 - 22 / 14 + 63 / 14  

                                             x = 69 / 14         

    Conclusion :  SIR3 ={ (  69 / 14; 11 / 14  ; - 3 / 2 ) }