SUITE 1 DE LA LECON DEC. JANV. 08 - 09 1S
COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE
-------------------------------------------------------------------------------------------------
10. Notation-Définition.
Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont l'extrémité gauche est le réel a
et que f( x ) tend vers + ∞ ( respectivement - ∞ ) lorsque x tend vers a ,
on écrit:
lim f(x) = + ∞
x → a+
Respectivement
lim f(x) = - ∞
x → a+
ON DIT que l'on peut rendre f( x ) aussi grand ( respectivement aussi petit ) qu'on LE veut à condition
de prendre x ASSEZ PROCHE de a.
( On n'est pas obligé de mettre le + en exposant de a quand on sait que l'on est à droite de a. )
On dispose des fonctions de référence suivantes: -
11. Notation-Définition. Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont l'extrémité droite est le réel a et que f( x ) tend vers + ∞ ( respectivement - ∞ ) lorsque x tend vers a , on écrit:
Respectivement
ON DIT que l'on peut rendre f( x ) aussi grand ( respectivement aussi petit ) qu'on LE veut à condition de prendre x ASSEZ PROCHE de a. ( On n'est pas obligé de mettre le - en exposant de a quand on sait que l'on est à droite de a. ) On a les fonctions de références suivantes:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CONSEQUENCES GRAPHIQUES.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Fonction f
Intervalle considéré
Limite de f( x ) quand x tend vers a
x→ 1 / x
] 0 , 10 ]
+ ∞
x→ 1 / x²
] 0 , 10 ]
+ ∞
x→ 1 / xn n entier naturel non nul pair
] 0 , 10 ]
+ ∞
x→ 1 / xn n entier naturel impair
] 0 , 10 ]
+ ∞
lim f(x) = + ∞
x → a-
lim f(x) = - ∞
x → a-
Fonction f
Intervalle considéré
Limite de f( x ) quand x tend vers a
x→ 1 / x
[10 , 0 [
- ∞
x→ 1 / x²
[10 , 0 [
+ ∞
x→ 1 / xn n entier naturel non nul pair
[10 , 0 [
+ ∞
x→ 1 / xn n entier naturel impair
[10 , 0 [
- ∞
12. Définition.
Soit f une fonction de courbe ( C ) dans un repère orthonormal
du plan et a un réel tels que l'on puisse écrire :
• 1 cas:
| lim f(x) = +∞ |
| x → a+ |
ou
| lim f(x) = - ∞ |
| x → a+ |
Alors la courbe ( C ) de f admet la droite verticale D : x = a comme asymptote, à droite.
Cela se traduit graphiquement par le fait que la courbe ( C ) se rapproche de D
par la droite sans jamais la toucher.
•2 cas:
| lim f(x) = +∞ |
| x → a- |
ou
| lim f(x) = - ∞ |
| x → a- |
Alors la courbe de f admet la droite verticale D : x = a comme asymptote, à gauche.
Cela se traduit graphiquement par le fait que la courbe ( C ) se rapproche de D
par la gauche sans jamais la toucher.
13. Définition.
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit la droite D : y = a x + b .
Soit ( C ) la courbe d'une fonction f définie sur un intervalle
dont une extrémité est +∞ ( respectivement - ∞ ).
• Si l'on a:
lim ( f(x) - ( a x + b ) ) = 0
x → +∞
Alors la droite D : y = a x + b est une asymptote à la courbe de f en +∞.
( C ) se rapproche de D quand x tend vers +∞
• Si l'on a:
| lim ( f(x) - ( a x + b ) ) = 0 |
| x → -∞ |
Alors la droite D : y = a x + b est une asymptote à la courbe de f en - ∞.
( C ) se rapproche de D quand x tend vers - ∞
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
OPERATIONS SUR LES LIMITES
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
On peut être amené à avoir une somme , une différence , un produit ,
un quotient de fonctions.
Si l'on veut obtenir la limite dans ces cas alors on utilise des tableaux
de référence.