INFO EX 2 bac S 21 juin 2017

                  INFO EX 2    Baccalauréat   S  21  JUIN 2017     Métropole

    EXERCICE 2               3 points
                        Commun à tous les candidats
            L’espace est muni d’un repère

             Re2017.
            Soit P le plan d’équation cartésienne : 2x − z −3 = 0.
            On note A le point de coordonnées ( 1  ; a ; a2 )
            où a est un nombre réel.
        1. Justifier que, quelle que soit la valeur de a, le point A n’appartient 
             pas au plan P.

            REPONSE:

            Les coordonnées de A ne vérifient pas l 'équation de P.

            En effet:  Quelle que soit la valeur de a  on sait que

              1 +  a2 > 0    et  2 × 1  − a2 − 3 =  − a2 − 1= − ( 1 +  a2  ) 

             Donc  2  − a2 − 3 ≠ 0

            Conclusion :  quelle que soit la valeur de a, le point A n’appartient 
             pas au plan P.
        2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre t)
                passant par le point A et orthogonale au plan P. 

                REPONSE:

              Le plan P admet comme vecteur normal le vecteur Normal2017de coordonnées ( 2 ; 0 ; − 1 )

              car il admet comme équation cartésienne 2x  + 0 y − 1z −3 = 0. 

              La droite D passe par le point A ( 1  ; a ; a2 ) et est de vecteur directeur Normal2017.

                     Donc une représentation paramétrique de D est :                   

                                         x = 1 + 2 t

                                         y = a + 0 t

                                         z = a2   − 1t        où t est dans IR

              Conclusion:      x = 1+ 2 t

                                         y = a

                                         z = a2   − t             avec t est dans IR

            b. Soit M un point appartenant à la droite D, associé à la valeur t du paramètre 
                dans la représentation paramétrique précédente.

               Exprimer la distance AM en fonction du réel t.
               On note H le point d’intersection du plan P et de la droite
               D orthogonale à P et passant par le point A. 
               Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur le plan P
               et la distance AH est appelée distance du point A au plan P.

                Fi2017

                 REPONSE:

                  Les coordonnées du vecteur  Am2017  sont:

                    xM  − x A   = 1 + 2 t  − 1 = 2 t

                    yM  − y A   ​= a  − a = 0

                    zM  − z A   ​=  a2   − t   − a2  =  − t

          Donc :  AM2  = ( 2 t )2  + 02 + (   − t   )2  = 4  t 2  +  t 2

          c-à-d         AM2  = 5 t 2    
          Conclusion :   AM = √(5 t 2 ) 

                  c-à-d         AM = | t | √5    où t est dans IR
        3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A 
            de coordonnées (1 ; a ; a2 ) au plan P est minimale ? Justifier la réponse.

          REPONSE:

             Cherchons le réel t tel que M(  1 + 2 t  ;  a ;  a2   − t )  soit dans P.

           Imposons donc :    2(  1 + 2 t  )  −  (  a2   − t  ) −  3 = 0

           c-à-d        2 + 4 t  −  a2   + t −  3 = 0

           c-à-d        5 t = 1 + a2   

          c-à-d      t = (1 + a2 ) / 5

            Ainsi le point M( t )  de D est en H quand  t = (1 + a2 ) / 5.

            (1 + a2 ) / 5 > 0

          Alors : AH = (  (1 + a2 ) / 5 ) √ 5 =  (1 + a2 ) / √ 5

        La plus petite valeur de a2 est 0, obtenue pour a = 0. 

          Conclusion :  AH est minimal quand a = 0

                                 c-à-d    quand  le point A a pour coordonnées ( 1 ; 0 ; 0 )

                                                                      

17MASSMLR1                                                                               page 3