CALCUL MATRICIEL ET SYSTEMES LINEAIRES BTS1 02 / 03 /2009
I. MATRICES.
• Matrice à n lignes et p colonnes où n et p sont des entiers naturels non nuls.
( On la dit de type ( n , p )
C'est un tableau rectangulaire de n lignes et p colonnes où il y a un réel ( terme) à
l'intersection de chaque ligne avec chaque colonne.
Si A est une telle matrice alors par habitude on note ai j le terme
situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j .
Si n = p alors la matrice est dite carrée d'ordre n.
EXEMPLE : Soit A la matrice de type ( 2 , 3 )
| / 1 | -5 | 2 \ |
| \ 3 | 4 | - 3 / |
Soit la matrice carrée B de type ( 3 , 3 )
| / 1 | 5 | - 3 \ |
| | 2 | 0 | 1 | |
| \ - 4 | 2 | - 1 / |
• Deux matrices de même type sont égales quand elles ont les mêmes termes.
EXEMPLE : Les matrices
| / a | b | c \ |
| \ d | e | f / |
et
| / 1 | -5 | 2 \ |
| \ 3 | 4 | -3 / |
sont égales ssi a = 1 b = - 5 c = 2 d = 3 e = 4 f = - 3
• Somme A + B de deux matrices A et B de même type ( n , p ).
C'est une matrice de même type obtenue en ajoutant les termes situés "aux mêmes places".
Soit la matrice A suivante:
| / a1 1 | a1 2 | a1 3 \ |
| \ a2 1 | a2 2 | a2 3 / |
et la matrice B suivante
| / b1 1 | b1 2 | b1 3 \ |
| \ b2 1 | b2 2 | b2 3 / |
Alors la matrice A + B est :
| / a1 1 + b1 1 | a1 2 + b1 2 | a1 3 + b1 3 \ |
| \ a2 1 + b2 1 | a2 2 + b2 2 | a2 3 + b2 3 / |
Cela revient à superposer les deux matrices de même type puis à sommer
les termes superposés.
• Multiplier une matrice par un réel consiste à multiplier chaque terme par ce réel.
• Produit A × B d'une matrice A de type ( n , p ) avec une matrice B de type ( p , q ).
On obtient une matrice de type ( n , q ).
Soit la matrice A de type ( 2 , 3 ) suivante:
| / a1 1 | a1 2 | a1 3 \ |
| \ a2 1 | a2 2 | a2 3 / |
et la matrice B de type ( 3 , 4 ) suivante:
| / b1 1 | b1 2 | b1 3 | b1 4 \ |
| | b2 1 | b2 2 | b2 3 | b2 4 | |
| \ b3 1 | b3 2 | b3 3 | b3 4 / |
Alors la matrice A × B de type ( 2 , 4 ) est obtenue suivant le processus :
| / a1 1 × b1 1+ a1 2 × b2 1 + a1 3 × b3 1 | ..... | .... | ..... |
| | ..... | ..... | ..... | ...... |
Une disposition des calculs est possible.
| / b1 1 | b1 2 | b1 3 | b1 4 \ | |||
| | b2 1 | b2 2 | b2 3 | b2 4 | | |||
| \ b3 1 | b3 2 | b3 3 | b3 4 / | |||
| / a1 1 | a1 2 | a1 3 \ | / a1 1 × b1 1+ a1 2 × b2 1 + a1 3 × b3 1 | .... | ..... | ... \ |
| \ a2 1 | a2 2 | a2 3 / | \ a2 1 × b1 1 + a2 2 × b2 1 + a2 3 × b3 1 | .... | .... | ... / |
Le terme de A × B de rang i j est obtenu en superposant les termes de la ligne i de A
avec ceux de la colonne j de B puis en les multipliant et enfin en ajoutant ces produits.
EXEMPLE:
Soit la matrice A =
| / 1 | 2 | 1 \ |
| \ 3 | 0 | 1 / |
Soit la matrice B =
| / - 1 | 1 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 2 | |
| \ 2 | 0 | 1 / |
Alors la matrice A × B est :
| / - 1 | 1 | 0 \ | |||
| | 0 | 1 | 2 | | |||
| \ 2 | 0 | 1 / | |||
| / 1 | 2 | 1 \ | / 1 × ( - 1 ) +2 × 0 + 1 × 2 | 3 | 5 \ |
| \ 3 | 0 | 1 / | \ - 1 | 3 | 1 / |
A × B =
| / 1 | 3 | 5 \ |
| \ - 1 | 3 | 1 / |
• La matrice unité est carrée avec des 1 dans la diagonale descendant vers la droite et des zéros ailleurs.
Par exemple
| / 1 | 0 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 0 | 1 / |
ou
| / 1 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
ou
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | 1 / |
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