INFO DEVOIR MAISON TS2 17 février 2012
EXERCICE E page 129
1. On considère la fonction u définie sur ] 0 ; + ∞ [ par :
u(x ) = lnx + x - 3
a. Etudier les variations de la fonction u et montrer que l'équation u( x ) = 0
a une racine α et une seule.
• La fonction u est la somme des fonction ln et x → x - 3 qui sont strictement
croissantes sur ] 0 ; + ∞ [.
Donc :
Conclusion : u est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.
• La fonction u est définie et dérivable ,donc continue , sur ] 0 ; + ∞ [
comme somme de telles fonctions.
u est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.
lim u = + ∞
+ ∞
En effet : lim ln = + ∞ et lim ( x - 3 ) = + ∞
+ ∞ x→ + ∞
Donc lim ( ln x + x - 3 ) = + ∞
x→ + ∞
lim u = - ∞
0
En effet : lim ln = - ∞ et lim( x - 3 ) = - 3
0+ x→ 0
Donc lim ( lnx + x - 3 ) = - ∞
x→ 0+
Or 0 est dans ] - ∞ , + ∞ [
Conclusion: D'après le théorème de la bijection
u( x ) = 0 admet une unique solution α dans ] 0 ; + ∞ [
Donner un encadrement α à 0,001 près.
u( 2,207) ≈ - 0,0014 négatif
u( 2,208) ≈ 8,7 .10 - 5 positif
Donc 2,207 < α < 2,208
b. Donner le signe de u(x ).
Comme u est strictement croissante sur ] 0 , + ∞ [ et u( α ) = 0
Conclusion: u > 0 quand x > α
u < 0 quand 0 < x < α
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