INFO Activ. prépar. Leçon 1 1S sept 09

  INFORMATION             1S1    SEPT 09              ACTIVITES 1 ET 2

         ACTIVITE 1.

                ( http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jnlp peut être utilisé.)

                 1. Soit la fonction f : x → ( x + 1 ) ²  -  4 définie sur l'ensemble

                     des nombres réels.

                      a. Factoriser f ( x ).

                           Réponse:    Soit x un réel quelconque.

                          On a :        ( x + 1 ) ²  -  2²  = ( x + 1 + 2 ) ( x + 1 - 2 ) = ( x + 3 ) ( x - 1 )

                           Conclusion:        f( x ) = ( x + 3 ) ( x -1 )       pour tout x dans IR.

                      b. Résoudre dans l'ensemble des réels, l'équation :   x²  + 2 x  - 3 = 0  .   ( 1 )

                          Réponse:

                           ( 1 ) s'écrit  ( x + 3 ) ( x - 1 ) = 0   c-à-d    x = - 3  ou   x = 1

                            Conclusion : S = { - 3 ; 1 }

                      c. Représenter dans un même repère orthogonal ,

                         ( 2 cm en abscisse ; 0, 5 cm en ordonnée. ),

                         les courbes des fonctions g : x → x²  et   h : x → - 2 x + 3.

                         Réponse:            Repère orthogonal                                                         

                                                   Repère orthonormal

                         En déduire une résolution graphique de  ( 1 ).

                          Réponse:

                          Les deux courbes se coupent en deux points d'abscisses - 3 et 1.

                          Ainsi  g( x ) = h( x )  ssi x = - 3 ou  x = 1

                          Mais g( x ) = h(x )  s'écrit     x²  = - 2 x + 3      c-à-d    x² + 2 x - 3 = 0

                          Donc ( 1 ) équivaut à g( x ) = h( x ) .

                           Conclusion :  S = { - 3 ; 1 }

                    d. Représenter, dans un repère orthogonal identique ( O ; vect(i), vect(j) ) , 

                         les courbes des fonctions g et  f.

                        Réponse:                      Repère orthogonal                                                       l

                                                           Repère orthonormal

                         Pour cela dire la transformation qui permet d'obtenir la courbe de f  à

                         partir de celle de g .

                            Réponse:

                            On a : 

                             f( x ) = ( x- ( - 1 ) )² - 4  = g( x - ( - 1 ) ) - 4      pour tout x dans IR.

                               Donc la courbe de f est l'image de celle de g par la translation de

                              vecteur   - vect( i ) - 4 vect( j ).

                               Information:

                                Soit a et b deux réels.

                                Soit p une fonction définie dans un domaine D.

                                La courbe de la fonction q : x→ p( x- a ) + b  est                               

                                l'image de celle de p par la translation de vecteur : 

                                a vect(i) + b vect(j).

                          En déduire une nouvelle résolution graphique de  ( 1 ).

                            Réponse:

                            La courbe de f coupe l'axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont - 3 et 1.

                            On donc f( x ) = 0  ssi x = - 3   ou  x = 1

                             Conclusion : S = { - 3 ; 1 }

                    e. Soit k ( x ) = a x² +b x + c    avec a , b , c  trois réels  et a non nul.

                        Comment , si possible, peut-on amorcer une factorisation pour

                        k (x ) ?  

                         Réponse: 

                        On a pour tout réel x  :

                                                  a x² +b x + c  =  a ( x² + ( b / a ) x + c / a )

                                   c-à-d        k( x ) = a (   ( x² + 2 ( b /( 2 a )  ) x  + c / a   )

                                  c-à-d                 k( x ) = a (  ( x + b / ( 2 a )  )² - b² / ( 4 a² )  + c / a )

                                 c-à-d                 k( x ) = a (  ( x + b / ( 2 a ) )²  + ( 4 ac - b²  ) / ( 4a² ) )

                                 c-à-d       k( x ) = a (  ( x + b / ( 2 a ) )²  -  ( b² -  4 ac  ) / ( 4a² ) )

                               c-à-d       k( x ) = a (  ( x + b / ( 2 a ) )²  -  ( b² -  4 ac  ) / ( 2 a )²  )

                             Si     b² - 4ac  >= 0   alors   on peut factoriser k( x ) .

                             En effet:    

                                   • Si     b² - 4ac  = 0    alors  k( x ) = a (  ( x + b / ( 2 a ) )² .

                                   • Si b² - 4 a c > 0  alors    b² - 4 a c = (  √ ( b² - 4 a c  )²

                                        On peut faire apparaître une différence de deux carrés donc factoriser.

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        Activité 2.

               1. Les fonctions  f : x→ x + 1  et  g :x → ( x² - 1) / ( x - 1) sont-elles égales ?

                      On rappelle que deux fonctions  f et g sont égales quand

                       les deux conditions suivantes sont respectées:        

                                                            Même domaine de définition  D.

                                                             f ( x ) = g ( x )     pour tout x dans D .

                      Réponse:     f n'est pas égale à g    car f et g n'ont pas le même ensemble de définition.

                                            f est définie dans IR.

                                            g est définie sur IR - { 1 }

                  2. Soit la fonction  u : x→  x² - 4   . Donner son sens de variation sur l'intervalle 

                     des réels positifs ou nuls.

                     Réponse :     C'est celui de la fonction  w :  x→  x²

                                           La courbe de u est l'image de la courbe de la fonction w par la translation de vecteur

                                              - 4 vect( i ) .

                  3. Soit la fonction  w : x→  1/( x+ 1)   . Donner son sens de variation sur l'intervalle

                      des réels supérieurs  à - 1.

                     Réponse:              Soit       a >  - 1    et    b >   - 1       avec a ≠  b .

                 On a :   w( b ) - w( a ) = 1/( b + 1)  -  1/( a + 1) = [ ( a + 1 ) - ( b + 1 ) ]  / [ ( a + 1 ) ( b + 1 ) ]

                  c-à-d       w( b ) - w( a ) = ( a - b ) / [ ( a + 1 ) ( b + 1 ) ]

                 c-à-d         w( b ) - w( a )    = - ( b -  a ) / [ ( a + 1 ) ( b + 1 ) ]

             Comme  ( a + 1 ) ( b + 1 ) > 0  on obtient  que  l'on a  w( b ) - w( a ) est du contraire à celui de

                           b - a .

                   Conclusion : La fonction w est décroissante dans l'intervalle ] - 1 , + ∞[

                        RAPPEL:   Soit une fonction f définie dans un intervalle I.

                         • La fonction  f  est croissante strictement sur un intervalle I

                            quand :

                                      Pour tout a et tout b dans I ,    a < b  implique   f ( a ) < f ( b ).

                          •  La fonction  f  est décroissante strictement sur un intervalle I

                              quand :

                                       Pour tout a et tout b dans I ,    a < b  implique   f ( a ) >  f ( b ).