INFO TROISIEME TRAVAIL

INFO TROISIEME TRAVAIL

                          INFO TROISIEME TRAVAIL          NOMBRES COMPLEXES       TS     18 JUIN 2009

           EXEXRCICE

                Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( u ) , vect( v )  ).

                Soit les points A( 2 - 4 i ) , B( 1 + i ) , C( 6 i ).                                            

                 Placer ces points dans le repère.

                Réponse:

                  

            1. Donner les affixes des vecteurs vect( AB ) et vect(AC).

               Réponse:

                     On a:

                     zB - zA =  1 + i - ( 2 -  4 i ) = 1 + i - 2 + 4 i = - 1+ 5 i

                    zC - zA =  6 i - ( 2 -  4 i ) = 6 i - 2 + 4 i = - 2 + 10 i

                  Conclusion :     zB - zA   = - 1+ 5 i           et    zC - zA  =  - 2 + 10 i

            2. Montrer qu'il existe un réel  λ tel que ( zB  - z A  ) / ( zC - zA  )  = λ.

                    Réponse:

                          On a :   ( zB  - z A  ) / ( zC - zA  )  = ( - 1+ 5 i ) / ( - 2 + 10 i )

                      c-à-d        ( zB  - z A  ) / ( zC - zA  )  =  ( - 1+ 5 i ) / [ 2( - 1 + 5 i )] = 1 / 2

                       Conclusion:     λ = 1 / 2

            3. Les vecteurs vect( AB ) et vect(AC) sont-ils colinéaires ?

                    Réponse:

                          OUI. 

                    En effet :            ( zB  - z A  ) / ( zC - zA  )  = 1 / 2

                       s'écrit :            ( zB  - z A  ) = (1 / 2 ) ( zC - zA  ) 

               c'est -à -dire:             vect( AB ) = ( 1 / 2 ) vect( AC )

               Que peut-on en déduire?

                      On en déduit:

                      Conclusion : Les points A, B , C sont alignés.

           4. Trouver l'affixe de l'isobarycentre des points A, B et C.

                     Réponse:

                         Notons le G.

                         zG  = (  zA   +   zB    +  zC   ) / 3

                        Or     zA   +   zB    +  zC     =     2 - 4 i + 1 + i +  6 i = 3 + 3 i   

                       Donc        zG  = 3 i / 3 = i

                              Conclusion :    zG  = i   

           5. Former l'équation du second degré dont les solutions sont 1 + i et 1 - i

                et dont le coefficient de z² soit 1.

                Réponse:

                  Considérons : 

                                     1 ( z - ( 1 + i ) ) ( z - ( 1 - i ) ) = 0

                     c-à-d     z²  - z( 1 - i ) - z ( 1 + i ) + ( 1 + i) ( 1 - i ) = 0

                     c-à-d        z²   - z ( 1 + i + 1- i ) + 1 - i² = 0

                     c-à-d                z² -  2 z + 2 = 0

                      Conclusion :   z² -  2 z + 2 = 0

                Ce résultat était prévisible de tête car la somme des racines

                est  égale à    S =1 + i + 1 - i = 2     et le produit des racines 

                est égal à  P =( 1 + i ) ( 1 - i ) = 2.

                donc 1 + i  et 1 - i sont solution de l'équation  z² - S z + P = 0

             6. Simplifier (  z² - 2 z + 2 ) / ( z- ( 1 + i )).

                  Réponse: 

                  Soit    z distinct de 1+ i.

                On a :  (  z² - 2 z + 2 ) /( z -  ( 1 + i ))  =[  ( z - ( 1 + i ) )  ( z - ( 1 - i ) ) ] / ( z - ( 1+ i ) )

                c-à-d   (  z² - 2 z + 2 ) /( z -  ( 1 + i )) = ( z - ( 1 - i ) )

             Conclusion : (  z² - 2 z + 2 ) /( z -  ( 1 + i ))  = z - 1 + i

-----------------------------------------------------------------------------------------------