COMPORT. ASYMPTOTIQUE 1S

SUITE 1  DE LA LECON        DEC.   JANV.     08 - 09             1S

   COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

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10.   Notation-Définition.     

    Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont l'extrémité gauche est le réel a

    et que   f( x ) tend   vers   + ∞   (  respectivement - ∞  )   lorsque x tend vers  a  ,  

    on écrit:    

 lim   f(x)   =  + ∞
x →  a+

Respectivement

 lim   f(x)   =  - ∞
x →  a+

   ON DIT  que l'on peut rendre f( x ) aussi grand ( respectivement  aussi petit )  qu'on LE  veut à condition

   de prendre x  ASSEZ PROCHE de a.

    ( On n'est pas obligé de mettre le + en exposant de a quand on sait que l'on est à droite de a. )  

                  On dispose des fonctions de référence suivantes:   -

Fonction f Intervalle considéré Limite de f( x ) quand x tend vers a
x→ 1 / x     ]   0 ,  10  ]  + ∞
x→  1 / x²     ]   0 ,  10  ] + ∞
x→  1 / xn  n entier naturel non nul pair     ]   0 ,  10  ] + ∞
x→ 1 / x   n entier naturel impair     ]   0 ,  10  ] + ∞
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  11. Notation-Définition.     

  Quand un fonction f est définie sur un intervalle dont l'extrémité droite est le réel a

    et que   f( x ) tend   vers   + ∞   (  respectivement - ∞  )   lorsque x tend vers  a  ,  on écrit:   

 

 lim   f(x)   =  + ∞
x →  a-

Respectivement

 lim   f(x)   =  - ∞
x →  a-

   ON DIT  que l'on peut rendre f( x ) aussi grand ( respectivement  aussi petit )  qu'on LE  veut à condition

    de prendre x  ASSEZ PROCHE de a.

     ( On n'est pas obligé de mettre le - en exposant de a quand on sait que l'on est à droite de a. ) 

                    On a les fonctions de références suivantes:

Fonction f Intervalle considéré Limite de f( x ) quand x tend vers a
x→ 1 / x     [10 , 0  [                   -  ∞
x→  1 / x²     [10 , 0  [                    + ∞
x→  1 / xn  n entier naturel non nul pair      [10 , 0  [                   + ∞
x→ 1 / x   n entier naturel impair    [10 , 0  [                     - ∞

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       CONSEQUENCES GRAPHIQUES.  


        12. Définition.

              Soit f une fonction de courbe ( C ) dans un repère orthonormal

              du plan et a un réel tels que l'on puisse écrire : 

1 cas:

 lim   f(x)   =  +∞
x →  a+

             ou

 lim   f(x)   =  - ∞
x →  a+

        Alors la courbe ( C ) de f  admet la droite verticale  D : x = a comme asymptote, à droite.  

       Cela se traduit graphiquement par le fait que la courbe ( C ) se rapproche de D  

        par la droite sans jamais la toucher. 

  •2 cas:

 lim   f(x)   =  +∞
x →  a-

              ou

 lim   f(x)   =  - ∞
x →  a-

      Alors la courbe de f  admet la droite verticale D : x = a comme asymptote,  à gauche.

      Cela se traduit graphiquement par le fait que la courbe ( C ) se rapproche de D

      par la gauche sans jamais la toucher. 

       13. Définition.   

               Le plan  est muni d'un repère orthonormal.

               Soit la droite D : y = a x + b .

               Soit ( C ) la courbe d'une fonction f définie sur un intervalle

               dont une extrémité est  +∞ ( respectivement - ∞ ).

          Si l'on a:          

 lim  ( f(x)  - ( a x + b ) ) =  0
x →  +∞

               Alors la droite D : y = a x + b   est une asymptote à la courbe de f en +∞.

                ( C ) se rapproche de D quand x tend vers +∞

            Si l'on a:          

 lim  ( f(x)  - ( a x + b ) )  =  0
x →  -∞

               Alors la droite D : y = a x + b   est une asymptote à la courbe de f en - ∞.

              ( C ) se rapproche de D quand x tend vers - ∞

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       OPERATIONS SUR LES LIMITES

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 On peut être amené  à avoir une somme , une différence , un produit ,

  un quotient de fonctions.

 Si l'on veut obtenir la limite dans ces cas alors on utilise des  tableaux 

de référence.