Quartiles .Boîte à moustaches

 

    Compléments de la classe de seconde sur les STAT.      1S     Juin  2009

         Notation:  E( x ) est la partie entière du réel x.

                         E( x ) est le plus gand entier relatif inférieur ou égal à x.

                         Pour tout réel x on a :  E( x ) ≤ x  < E( x ) + 1

. I.  ATTENTION  LES CONVENTIONS VARIENT SELON LES STATISTICIENS

 POUR UNE SERIE STATISTIQUE QUANTITATIVE. ( Caractère quantitatif c-à-d numérique.)

         Soit la série:

Valeurs distinctes x1 ......   ......... xN'
Effectifs relatifs n1 ....... ........... nN' Σni = N

 Valeurs distinctes :   x1 ......   ......... xN'

Effectifs relatifs:      n1 ....... ........... nN'

 Effectif total :          Σni = n1 +  ................+  nN' =N 

             N est dans les entiers naturels non nuls.  N est l'effectif total.

         • Quartiles et Médiane.

               ( Convention .  Attention ce n'est pas la seule possible  )

        Attention ce n'est pas la seule possible.

          Méthode :  On écrit la liste des valeurs du caractère, dans l'ordre croissant, en répétant

          chacune d'elles autant de fois que son effectif.

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            • • Si N / 4 est dans IN* alors  Q1  est la valeur qui figure dans la liste à la ( N / 4 ) ième

                 place ,   Q3   est la valeur qui figure dans la liste à la 3N / 4 ième   . 

                 Me ( médiane )   est la valeur qui figure dans la liste à la ( N / 2) ième   place.

             Attention il arrive, dans ce cas, que Me soit considérée comme la moyenne arithmétique

             des ( N / 2 ) ième  et     ( ( N / 2 )+ 1 ) ième    valeurs,  comme il n'y a pas de terme milieu.

                         L'inconvénient est que Me  peut ne pas  être alors une valeur prise.

              Exemple:                      N = 12      N est divisible par 2 et par 4.         N / 4 = 3                     

Valeurs distinctes x1 x2  x3 x4 x5
Effectifs relatifs 2 3 4 2 1

                      3  ; 9 sont les rangs  de     Q1    ;      Q3          respectivement .   

            x1   x1    x2      x2   x2        x3   x3   x3  x3        x4   x4     x5 

                         Q1                   Me             Q3       

             On peut dire que Me est la valeur de rang 6.

             Mais on pourrait dire aussi  Me = ( x3  + x3 ) / 2 = x3   

                     (  La moyenne des  6ième   et  7ième  valeurs. )  

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          • •  Si N / 4 n'est pas  dans IN* alors  Q1  est la valeur qui figure dans la liste

                à la E( N / 4 ) + 1  ième   place ,    Q3   est la valeur qui figure dans la liste à 

                3×E( N / 4 ) + 1  ième   place .

                  Me ( médiane )   est la valeur qui figure  dans la liste à la  ( 2× E( N / 4 ) + 1 ) ième   place

               Attention  on peut dire aussi:

                   Si N est divisible par 2 alors on peut considérer que Me est  la moyenne arithmétique

                      des ( N / 2) ième   et     ( ( N / 2)+ 1 ) ième    valeurs comme il n'y a pas de terme milieu.

                   Si N n'est pas divisible par  2  alors on peut considérer que Me est la ( E( N / 2)+ 1 ) ième    valeurs )

               Exemple:                           N = 13      N n'est pas divisible par 4 ni par 2.     N / 4 = 3,25        N / 2 = 6,5                         

Valeurs distinctes x1 x2  x3 x4 x5
Effectifs relatifs 2 3 4 2 2

              E( N / 4 ) + 1 = 4       Donc Q1   est la  4ième    valeur.

               3 ×E( N / 4 ) + 1 = 10    Donc  Q3    est la 10ième    valeur.

             x1   x1     x2  x2   x2      x3   x3    x3   x3    x4   x4   x5   x5 

                                 Q1              Me             Q3      

               On peut prendre pour Me la  7ième   valeur   car    2× E( N / 4 ) + 1 = 7 

              On peut prendre aussi  pour Me  la  7ième   valeur  car    E( N / 2 ) + 1 = 7

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              •  BOÎTE   A MOUSTACHE. 

                 C'est un schéma:

                  Q1    et   Q3    limitent la boîte.

                   x1   et  xn    limitent les moustaches

                  On utilise un axe  gradué pour y placer d'abord       x1     ,    Q1     ,     Q3   ,  xn     .   

            Q3   - Q1     est l'écart interquartile.

          [  Q1   ,  Q3 ]   est l'intervalle  interquartile.

                 • PROPRIETE;

                      Soit a et b deux réels. ( a non  nul )

                      Soit la série stat.

Valeurs distinctes x1 ......   ......... xN'
Effectifs relatifs n1 ....... ........... nN' Σni = N

                       Soit   yi  = a  xi + b      pour tout i compris entre 1 et n.     n dans IN*    .

                       Alors la série stat.

 

Valeurs distinctes y1 ......   ......... yN'
Effectifs relatifs n1 ....... ........... nN' Σni = N

                 admet les quartiles suivants:

                             a Q1  +b 

                             a Me   + b  

                             a Q3  + b 

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       .II.    Notion de variance et d'écart type.

                     Soit la série quantitative :

Valeurs distinctes x1 ......   ......... xN'
Effectifs relatifs n1 ....... ........... nN' Σni = N

                                     (  N étant un entier naturel non nul.)

                        •  La moyenne est :

                                     m =  ( Σ ni xi  ) / Σni

                         •  La variance est :

                                 v = Σ ni  ( xi  )² / Σni    -   m²   ou encore

                                 v = ( Σ ni ( xi - m  )²  ) / Σni 

                         •   L'écart type est :    σ = √ ( v )

                  L'écart type sert à valider ou invalider l'intérêt de la moyenne m.

                  c'est un paramètre de " dispersion"