INFO EX 2 BAC S 2013

                             INFO EX 3    BAC S             2013   

            EXERCICE 2    7 POINTS

                      Sur le graphique ci-dessous , on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé 

                         la courbe (  ) d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

                       On dispose des informations suivantes:

                  - les points A, B , C ont pour coordonnées respectives ( 1 ; 0 ) , ( 1 ; 2 ) , ( 0 ; 2 );

                  - La courbe (  ) passe par le point B et la droite ( BC ) est tangente à (  ) en B;

                  -  il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strixtement positif x ,

      1.a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et f '(1).

                  • f(1) est l'ordonnée du point B.

                     Conclusion : f( 1 ) = 2

                 •  f '( 1 ) est le coefficient directeur de la tangent à  (  ) au point B.

                      Or celle-ci est horizontale.

                   Donc

                        Conclusion : f ' ( 1 ) = 0

           b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x  , 

                              .                

                              Soit u: x → a + b ln(x)  et v : x → x

                             Les fonctions u et v sont définies et dérivables sur l'intervalle ] 0, + ∞ [ et 

                            v y est non nulle.

                       u ' : x → b / x   et v ' : x → 1

                            f = u / v

                              On a :   f ' =  ( v u ' - u v  ' ) / v²   

                     Soit  x > 0.

                             Il vient :    f '( x ) = [ x b / x ) - ( a + b ln( x )  ] / x²  

                     c-à-d 

                                     f '( x ) = [ b - a - b ln( x ) ] / x²

                           Conclusion: On bien le résultat demandé.

            c. En déduire les réels a et b.

                D'après le 1.a et le 1.b on peut écrire:

                           • f( 1 ) = 2   donne     a + b ln( 1 ) / 1  = 2    c-à-d a = 2

                           •  f '( 1 ) = 0     donne    [ b - a - b ln( 1 ) ] / 1²  = 0   c-à-d    b - a = 0

                                    c-à-d   b = a 

                               Ainsi          b = 2

                 Conclusion :    a = 2           b  = 2

           2. a. Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle ] 0 , + ∞ [,   f ' ( x ) a le

                    même signe  - ln( x ).

                      Soit x > 0

                     On a:    f ' ( x ) =  - 2 ln( x)  / x²

                     Comme  2 / x²  > 0    on a bien f '( x ) du   même signe  - ln( x ).

                        Conclusion: Le résultat est avéré.

                 b. Déteminer les limites de f en 0 et en + ∞.

                     On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif ,

                    f( x ) = 2 / x + 2 ln( x) / x

                         • + ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.

                              On peut faire la recherche.

                             On a :

              Conclusion:

                • 0 est une extrémité de l'intervalle de définition.

                  on peut faire la recherche.

                   Comme

               Conclusion:

          c. En déduire le tableau de variation de la fonction f.

        3.a.Démontrer que l'équation f( x ) = 1 admet une unique solution α sur

                 l'intervalle ] 0 ; 1 ].

             La restriction de f à l'intervalle  ] 0 ; 1 ] est définie continue et strictement

             croissante et   f( 1 ) = 2   et    lim f = - ∞.

                                                             0

          ( D'après le th de la bijection f réalise une  bijection de l'intervalle  ] 0 ; 1 ]

               sur l'intervalle  ]  - ∞ ; 2 ]  )

            1 est dans l'intervalle ] - ∞ , 2 ] .

           Conclusion : L'équation f (x ) = 1  admet une unique solution 

           dans l'intervalle   ] 0 ; 1 ].

             b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel β

                 de l'intervale ] 1 , + ∞ [ tel que f( β ) = 1.

                Déterminer l'entier naturel n tel que n < β < n + 1.

               f est définie continie et strictement décroissante sur l'intervalle  ] 1 , + ∞ [.

                   Or    f( 5 ) ≈ 1,04             f( 6 ) ≈ 0,93

                  Comme   f( 5 ) > 1 > f ( 6 )

                          On a:  5 < β  < 6   

                       Conclusion:         

                                         n = 5

                 4.On donne l'algorithme ci-dessous.

                     Variables:         a, b et m sont des nombres réels

                      Initialisation:   Affecter à a la valeur 0.

                                              Affecter à b la valeur 1

                     Traitement :      Tant que b - a > 0,1

                                                       Affecter à m la valeur  ( a + b ) / 2 .  

                                                       Si f(m )< 1 alors Affecter à a la valeur m.

                                                       Sinon Affecter à b la valeur m.

                                                       Fin de Si.

                                               Fin de Tant que.

                     Sortie:                Affecter a .

                                                Afficher b.

                      a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera

                           sur la copie.                     

 f(m)       1,2       - 3       0,1     0,79      1,03

                      b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme?

                            C'est les deux bornes d'un encadrement de α d'amplitude 10^-1 .

                     c. Modifier l'algorithme ci-dessuspour qu'il affiche les deux borne d'un encaderment 

                         de β d'amplitude  10^-1 .

                        En rouge les modifictations. En effet:

                       • Comme on se place sur [ 5; 6]

                         on modifie l'initialisation de a et b.     a = 5  et b = 6

                       • Comme f est décroissante sur [ 5; 6] et non croissante  on permute les affectations de a et b .

                         Voici le nouvel algorithme: 

 Variables:         a, b et m sont des nombres réels

                      Initialisation:   Affecter à a la valeur 5.

                                              Affecter à b la valeur 6.

                     Traitement :      Tant que b - a > 0,1

                                                       Affecter à m la valeur  ( a + b ) / 2 .  

                                                       Si f(m ) < 1 alors Affecter à b la valeur m.

                                                       Sinon Affecter à a la valeur m.

                                                       Fin de Si.

                                               Fin de Tant que.

                     Sortie:                Affecter a .

                                                Afficher b.

             5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe  (  )

                partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.

               a. Justifier que cela revient à démontrer que :

              •   Soit x > 0.

               f(x) = 0    s'écrit      2( 1 + ln( x ) ) / x = 0  

                c-à-d    ln( x ) = - 1

               c-à-d    x = e^{- 1}   =  1 / e

              f est définie contiue positive sur [ 1 / e , 1 ].

              En unité d'aire, l'aire Φ sous la courbe sur ( 1 / e , 1 ] 

               vaut :

                • L'aire du rectangle OABC est  1 × 2  = 2  unités d'aires

                • On veut que:    2 - Φ  =  Φ

                          c-à-d

                      c-à-d

                        Conclusion:   La comparaison est bonne.      

             b. En remarquant que l'expression de f( x) peut s'écrire  2 / x + 2 × ( 1 / x )×lnx  

                  terminer la démonstration.                               

                  Sur  ] 0 , + ∞  [  , une primitive de la fonction f : x →  2 / x + 2 ×  ln' ( x ) ln( x )    

                 est donc :

                              F : x →   2 ln( x ) + ln² (x )

                    Ainsi :    

                 Conclusion: Le résultat est avéré.

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