INFO TEST SPE MMATHS lundi 26 janvier 2015
EXERCICE
Dans un pays deux constructeurs de voitures A et B se partagent le marché.
Au 1 janvier 2015 le fabriquant A dispose de 60 % du marché.
On note P0 l'état du marché le 1 janvier 2015.
On a constaté qu'un client de A reste fidèle à A dans 30 % des cas.
De plus un client de B change pour acheter un véhicule de A dans 50 % des cas.
On admet que chaque année les clients changent de véhicules.
On note: Pn = ( an bn ) l'état du marché le 1 / 1 / 2015 + n
où n est dans IN.
1. Faire un graphe probabiliste .
REPONSE:
2. Donner la matrice probabiliste associée.
REPONSE:
3. Trouver l'état du marché au bout d'un an.
REPONSE:
On a : P1 = P0 × M
c-à-d ( a1 b1 ) = ( a0 b0 ) × M
Mais P0 = ( a0 b0 ) =( 0,60 0, 40 )
Donc
c-à-d
( a1 b1 ) = ( 0,38 0,62 )
Conclusion : P1 = ( 0,38 0,62 )
4. Existe-t-il un état stable ?
REPONSE:
La matrice probabiliste associée et d'ordre 2 et sans 0 .
Donc d'après Euler il existe un état stable P = ( a , b )
avec a + b = 1 et a et b dans l'intervalle [ 0 , 1 ]
Conclusion : OUI
5. Déterminer l'état stable .
REPONSE :
Considérons :
P = ( a , b ) avec
a + b = 1 et a et b dans l'intervalle [ 0 , 1 ]
tel que: P = P× M
On a :
a + b = 1
c-à-d
a + b = 1
c-à-d
a + b = 1
c-à-d
a + b = 1
c-à-d
a + b = 1
c-à-d comme on a deux fois la même équation
c-à-d
c-à-d
− 7 + 7 b + 5 b = 0
a = 1 - b
c-à-d
12 b = 7
a = 1 − b
c-à-d
Conclusion:
L'état stable est :
6. Interpréter le résultat.
REPONSE:
Sur le long terme le marché va se stabiliser .
Le constructeur A peut espérer avoir environ 42,67 % du marché.
Le constructeur B peut espérer avoir environ 58,33
On peut dire que il y a un retournement de tendance .
7. Montrer que: an + 1 = − 0, 2 an + 0,5 pour tout n dan IN
REPONSE:
On a : Pn + 1 = Pn × M pour tout n da,s IN
c-à-d
( an + 1 bn + 1 ) = ( an bn ) × M
c-à-d
On a donc:
Conclusion:
On a bien le résultat.
8. On pose un = 12 an − 5 pour tout n dan IN .
a. Montrer que la suite ( un ) est géométrique.
REPONSE :
Soit n dans IN.
Conclusion :
La suite ( un ) est bien géométrique de raison − 0,2
u0 = 12 a0 - 5 = 12 × 0,6 − 5 = 7,2 − 5 = 2, 2
b . Exprimer un en fonction de n puis an en fonction de n.
On a : un = 2,2 × ( − 0 , 2 )n pour tout n dans IN
Ainsi :
pour tout n dans IN.
c. Trouver la limite de la suite ( an ).
Comme | − 0,2 | < 1
lim ( − 0,2 )n = 0
n → + ∞
Donc:
Conclusion:
lim an = 5 / 12
n → + ∞
Que constatez-vous ?
On retrouve le résultat de l'état stable.
Le constructeur A a quand n devient très grand
peut espérer avoir 5 / 12 du marché
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