INFO TEST SPE MATH. 26 janvier 2015

                    INFO   TEST   SPE  MMATHS     lundi 26 janvier 2015

            EXERCICE 

                 Dans un pays deux constructeurs  de voitures A et B se partagent le marché.

                 Au 1 janvier 2015 le fabriquant A dispose de 60 % du marché.

                 On note P0  l'état du marché le 1 janvier 2015.

                 On a constaté qu'un client de A reste fidèle à A dans 30 % des cas.

                 De plus un client de B change pour acheter un véhicule de A dans 50 % des cas.

                 On admet que chaque année les clients changent de véhicules.

                  On note:    Pn = ( an     bn  )       l'état du marché le     1 / 1 / 2015 + n 

                   où n est dans IN.

                 1. Faire un graphe probabiliste .

                      REPONSE:

                    Grprb1

                      2. Donner la matrice probabiliste associée.

                          REPONSE:

                             We489

                     3. Trouver l'état du marché au bout d'un an.

                     REPONSE:

                  On a   :     P1 = P0 × M 

                   c-à-d           ( a1   b1  ) =    ( a0   b0  ) ×  M

                  Mais    P0   =    ( a0   b0  )   =(  0,60    0, 40 )

                    Donc

                      We137

                 c-à-d

                             ( a1   b1  ) =  ( 0,38      0,62 )

                              Conclusion :  P1 =     ( 0,38      0,62 )

                4. Existe-t-il un état stable ?

                       REPONSE:

                           La matrice probabiliste associée et d'ordre 2 et sans 0 .

                          Donc d'après Euler il existe un état stable P  = ( a  , b )

                             avec a + b = 1 et a et b dans l'intervalle [ 0 , 1 ]

                   Conclusion :  OUI

               5.  Déterminer l'état stable .

                  REPONSE :

                   Considérons :                       

                                          P  = ( a  , b )    avec 

                             a + b = 1      et a et b dans l'intervalle [ 0 , 1 ]

                                tel que:   P = P× M

                  On a : 

                                We1374

                                   a + b = 1

                    c-à-d

                  Wer1

                                         a + b = 1

       c-à-d

                     Ise1

                                        a + b = 1

           c-à-d

                          Ise12

                                      a + b = 1

                    c-à-d

                                  Web22

                                         a + b = 1

              c-à-d                  comme on a deux fois la même équation

                             Web222

             c-à-d

                        Web2222

                c-à-d  

                                  − 7 + 7 b + 5 b = 0

                                     a = 1 - b

                   c-à-d

                              12 b = 7

                              a = 1 − b

                  c-à-d

                        Wed45

                  Conclusion:

                        L'état stable est :

                              Wed454

             6. Interpréter le résultat.

                     REPONSE:

               Sur le long terme le marché va se stabiliser .

                Le constructeur A  peut espérer avoir environ 42,67 % du marché.

                Le constructeur B peut espérer avoir environ 58,33

                 On peut dire que il y a un retournement de tendance .

             7. Montrer que:      an + 1  = − 0, 2 an + 0,5      pour tout n dan IN

                      REPONSE:

                      On a :    Pn + 1 = Pn ×  M    pour tout n da,s IN

              c-à-d

                           ( an + 1     bn + 1   )  =     ( an      bn   )    ×  M                             

              c-à-d

                         Gh423 

                           On a donc:

         Car147

         Conclusion:

                   On a bien le résultat.         

         8. On pose un  =     12 an   −  5           pour tout n dan IN .

 

                         a. Montrer que la suite ( un ) est géométrique.

                                  REPONSE :

            Soit n dans IN.

             Weg579

                Wes45 1 

                     We147 

                            Conclusion :

                             La suite ( un ) est bien géométrique de raison    −  0,2

                             u0   =  12 a0 -  5  =    12 × 0,6   −  5   = 7,2 −  5 = 2, 2                          

                        b . Exprimer un  en fonction de n puis an en fonction de n.

                             On a  :                un = 2,2 × ( − 0 , 2 )n    pour tout n dans IN

                           Ainsi :         

                 We3748

                        pour tout n dans IN.

                       c. Trouver la limite de la suite ( an  ).

                                   Comme       | − 0,2 | < 1    

                                         lim (  −  0,2 )n  = 0

                                            n  →  +  ∞

                            Donc:

                                 Conclusion:

                                             lim an = 5 / 12

                                             n  →  +  ∞

                             Que constatez-vous ?

                                On retrouve le résultat de l'état stable.

                                  Le constructeur A a quand n devient très grand

                                   peut espérer avoir  5 / 12 du marché

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