INFO FEUILLE n°2 D'EXERCICES: INTEGRATI

              INFO  FEUILLE n° 2       D'EXERCICES      CALCUL INTEGRAL    TS    Avril 2012

    EXERCICE 1.

        Calculer l'intégrale N  = ∫0 1  ( 2 x + 1 ) / ( x2 + x + 3)3   dx

-----------------------------------------------------------------------------------

      Réponse:

          Soit la fonction   f : x →( 2 x + 1 ) / ( x2 + x + 3)3  

          Il n'est pas nécessaire  de justifier l'existence de N en 

          invoquant la continuité de f car on peut trouver directement

          une primitive de f en utilisant le cours        

          Soit la fonction polynôme u : x → x2 + x + 3

          u est définie dérivable et non nulle sur l'intervalle IR+ .

         On a    u ' : x → 2 x + 1  

        Ainsi :        f = u ' / u3     =    u ' u - 3

        Une primitive de    u ' u - 3     ,   c-à-d   de f  ,    est :

                F =  ( 1 /  - 3 + 1 )  u- 3 + 1   

       c-à-d  

                   F = - 0, 5 (   1 /  u2   )  =  - 0, 5 /  u2

       Une primitive de f est  donc :

          F : x  →  - 0,5 / (  x2 + x + 3 )2              à une constante près

        Ainsi :     N = F( 1 ) - F( 0)

        Or       F( 1 ) = - 0, 5  / 25

                    F( 0 ) =    - 0,5  / 9

     Donc:         N =  ( - 0, 5  / 25  ) +  ( 0,5 / 9  )  = 0, 5 (  - 1 / 25   + 1 / 9 )

      c-à-d 

                     N =( 0,5 × (  - 9 + 25  ) ) / ( 25 × 9 ) = ( 0,1 × 16) / ( 5× 9 ) 

   c-à-d         N = ( 0,1 × 16) / 45  

    c-à-d            N =  16 / 450  = 8 /  225

             Conclusion :    N = 8 / 225

                                  N ≈   0,03555

 ---------------------------------------------------------------------------------

   EXERCICE 2 .

      Calculer l'intégrale      J =  ∫1   x / √( x2 +1 )   dx

--------------------------------------------------------------------------------

     Réponse :

            Soit la fonction f : x→x / √( x2 +1 ) 

             Soit la fonction polynôme  u : x x2 +1

            u est une fonction définie , dérivable et strictement positive sur [ 0;1 ]. 

         On a  u ': x 2x

          Ainsi f  = u ' / 2 √u

           Une primitive de f est donc F = √u

            c-à-d   

             F:x → √( x2 +1 ) 

          Ainsi:    J  = F( 1 ) - F( 0 )

          F( 1 ) =  √2

          F( 0 ) = 1

       Conclusion : J =  √2  - 1

-------------------------------------------------------------------------------------

      EXERCICE 3

       Calculer l'intégrale  P = ∫14   e√x   √x  dx

--------------------------------------------------------------------------------------

   Réponse : 

               Soit la fonction f : x→ e√x   √x 

                Soit la fonction u : x √x 

                La fonction  u est définie , dérivable sur  l'intervalle [1 ; 4].

                   u ' : x  → 1/ ( 2√x )

              Ainsi:     f =     2 u ' eu

                Une primitive de  f  est F  = 2  eu    

                     c-à-d

                 Une primitive de f est:         F  : x   → 2 e√x     

                  Ainsi :   P = F( 4 ) - F(  1 )

                       F( 4 ) =  2 e2

                       F( 1 ) = 2 e

                        Conclusion :   P  =  2 e² - 2 e     

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

             EXERCICE 4

           1. Soit la fonction   G : x  → x lnx  - x   définie sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [.

                   Trouver la fonction dérivée G ' . 

          2. Calculer  l'intégrale

                            integrale-u.jpg 

    --------------------------------------------------------------------------------------------     

      Réponse:

            1.    G est définie et dérivable dans l'intervalle  ] 0 ; + ∞ [

                      comme somme et produit de telles fonctions.

                    Soit x > 0.

                     G '( x ) = ln x  + x ( 1 / x ) - 1

                   c-à-d

                  G ' ( x ) = ln x  + 0  

                             Conclusion : G' = ln    sur  ] 0 ; + ∞ [

          2.  D'après la question précédente

                    sur G est une primitive de la fonctio ln   .  ] 0 ; + ∞ [

                        Donc :

                  On a:     U = G( e ) - G( 1)

                    U = e lne -  e - (  1ln1 - 1 )  = e - e + 1 = 1     car lne =1    et ln 1 = 0

                Conclusion : U = 1  

----------------------------------------------------------------------------------