EX 1 bac S 21 juin 2017

                     SUJET    Baccalauréat   S  21  JUIN 2017     Métropole

       EXERCICE 1                              7 points
                                         Commun à tous les candidats
    Partie A
             On considère la fonction h définie sur l’intervalle [ 0;+ ∞ [ par : h(x) = x e− x  .
      1. Déterminer la limite de la fonction h en + ∞.
      2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ et dresser son
          tableau de variations.
      3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.
          a. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞ [,
               on a :
                   h(x) = e−x − h'(x)   où h' désigne la fonction dérivée de h.
          b. Déterminer une primitive sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ de la fonction
               x → e−x
          c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h
              sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [.
     Partie B
               On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
               f (x) = x e− x + ln(x +1)       et         g (x) = ln(x +1).
               On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives
                des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
               Ces deux courbes sont tracées en annexe page 7. 
               Cette annexe est à rendre avec la copie.
        1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [ 0 ; + ∞ [,
            on appelle M le point de coordonnées (x ; f (x)) et N le
            point de coordonnées (x ; g (x)) : M et N sont donc les points
            d’abscisse x appartenant respectivement aux courbesCf et Cg .
           a. Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est 
               maximale et donner cette distance maximale.
          b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 7 les points M 
               et N correspondant à la valeur maximale de MN. 

        2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[. On note Dλ 
            le domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg et par les
            droites d’équations x = 0 et x = λ.
            a. Hachurer le domaine Dλ. correspondant à la valeur λ proposée sur le
                graphique en annexe page 7.
            b. On note Aλ. l’aire du domaine Dλ, exprimée en unités d’aire. 
                  Démontrer que :
                          Aλ = 1− (λ+1)/ eλ .
           c. Calculer la limite de Aλ lorsque λ tend vers + ∞ et interpréter le résultat.
       3. On considère l’algorithme suivant :

Variables :
                             λ est un réel positif
                             S est un réel strictement compris entre 0 et 1.
Initialisation :
                            Saisir S
                            λ prend la valeur 0
Traitement :
                          Tant Que 1− (λ+1) / eλ < S  faire
                                    λ prend la valeur λ+1
                          Fin Tant Que
Sortie :
                              Afficher λ


          a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?
          b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

 

  17MASSMLR1                                                                                           page 2-3

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       Ann457