INFO EX 2 FIN DS n° 6 TS2 13/02/12

                            . INFO EX 2 FIN   DS n° 6  TS2    13/02/12

          Suite de l'exercice 2 du devoir surveillé. 

       4. On considère la suite ( d ) définie pour tout entier naturel n par d(n) = v(n ) - u(n).

           a. Montrer que la suite (d ) est une suite géométrique.

                 Soit n quelconque dans IN.

               On a :    d( n+1) = v( n + 1 ) - u( n+1)

               c-à-d      d( n+1) = (3 / 4 ) v( n ) + 1 / 4  - ( ( 3 / 4 ) u( n) + 1 / 4 )

               c-à-d    d( n + 1 ) = ( 3 / 4 )× ( v( n ) - u( n ) ) + 0 = ( 3 / 4 ) d( n) 

               c-à-d    d( n + 1 ) = ( 3 / 4 ) d( n )     pour tout n dans IN

              De plus        d( 0 ) = v( 0 ) - u( 0 ) = 2 - 0 = 2

               c-à-d     d( 0 ) = 2

               Conclusion:

                La suite ( d ) est géométrique de raison 3 / 4 et de premier terme d( 0 ) = 2

         b. Donner l'expression de d( n ) en fonction de n.

             D'après le cours on a :

                  Conclusion :          d( n ) = 2 ×( 3 / 4 )n   pour tout n dans IN.

       5. En utilisant les résultats des questions 3.b et 4. b donner l'expression de u( n ) et v( n )

                   en fonction de n.

                d(n ) = v(n) - u( n )

                s( n ) = u(n ) + v( n )

            Donc:

                       par somme         d(n ) + s( n ) = 2 v( n )

                      par différence     s( n ) - d( n ) = 2 u( n )

                  c-à-d             d'après les valeurs trouvées pour  s( n ) et d( n )

                             2 × ( 3 / 4 )n   + 2 = 2 v( n)     

                  et        2   -   2 × ( 3 / 4 )n   = 2  u( n )  

                  c-à-d        en divisant par 2    

                                          ( 3 / 4 )n  +  1 =  v( n)

                                    et   1 -  ( 3 / 4 )n =  u( n )

       Conclusion:     v( n ) =   ( 3 / 4 )n + 1  

                            u( n ) = 1 - ( 3 / 4 )n                 pour tout n dans IN

               6. Montrons que les suites ( u ) et ( v ) convergent .

                   Préciser leurs limites.

                •   L'interprétation la plus rigoureuse de l'énoncé consiste

                   à distinguer la justification de la convergence de la recherche de la limite finie.

                  On peut ici établir que la suite (v ) est décroissante car à terme positifs et de raison 3/4 

                   comprise entre 0 et 1.

                On peut établir que la suite ( u ) est croissante 

                  car        1 - ( 3 / 4 )n+1   - (  1 - ( 3 / 4 )n  ) = ( 3 / 4 )n  ( 1 - ( 3 / 4 ) )

                           u(n + 1 ) - u( n ) = ( 1 / 4 ) ( 3 / 4 )n       pour tout n dans IN

                    c-à-d     u(n + 1 ) - u( n )> 0 pour tout n dans IN

                 De plus  lim ( v( n ) - u( n ) ) = lim d( n ) = 0

                              n→ + ∞                       n→ + ∞

               car

                0 < 3 / 4 < 1     implique     lim ( 3 / 4 )n   = 0

                                                          n   → +∞

   Conclusion :  Les deux suite ( u ) et ( v ) sont adjacentes .

                            Elles convergent et on la même limite finie

                Or   ici:        lim (  ( 3 / 4 )n +1  ) = 0 + 1= 1

                                     n→ + ∞

                    c-à-d      lim v( n ) = 1

                                  n→ + ∞

                   Donc :                  lim vn   =  1  =  lim u 

                                                 n→ + ∞          n→ + ∞

              Conclusion :  Les deux suites convergent vers 1.