EXERCICE 1 sujet 2015

              INFO EXERCICE 1     5 POINTS                            bac S    2015

             Les résultats seront arrondis à 10− 3 près

   Partie 1

     1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre

            Lam 3  strictement positif donné.

             On rapelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction

             f définie sur [ 0, + ∞ [  par  f( x ) = Lam 3  e− Lam 3 x

          a. Soit c et d deux réels tels que 0 ≤ c < d.

             Démontrer que:  

             Ex1bac2015

                    ( Il s'agit d'un ROC déguisé )

       Par définition, comme X est de loi exponentielle on a:

           4lo

           Conclusion:

              Ex1bac2015

     b. Déterminer une valeur  à 10− 3 près de telle sorte que

         la probabilité P( X > 20 ) soit égale à 0,05.

         On a:   P( X > 20 ) = 1 − P( X ≤ 20 ) = 1 − (  e0 − e− 20Lam 3  ) =  e− 20Lam 3

          Imposons      e− 20Lam 3 = 0,05

                c-à-d    − 20 Lam 3 =  ln(0,05 )

                c-à-d        Lam 3   =  ln( 0,05 ) / ( − 20 )

           Il vient :          Lam 3   ≈ 0,1497

            Conclusion :    Lam 3   ≈ 0,150

     c . Donner l'espérance de la variable aléatoire X.

           On a  :

                      Qs12    

              Donc :   E( X ) ≈ 6,666

           Dans la suite de l'exercice on prend Lam 3= ​0,15

      d. Calculer P( 10 ≤  X ≤ 20 ).

        On a :   P( 10 ≤ X ≤ 20 ) =   e− 0,15. 10  − e− 0,15 . 20

          c-à-d

           P( 10 ≤ X ≤ 20 ) =   e− 1,5  − e− 3   

          Conclusion :  P( 10 ≤ X ≤ 20 ) ≈ 0,173

      e. Calculer la probabilité de l'événément ( X > 18 ).

          On a : P( X > 18 ) =   e− 0,15 . 18 =  e− 2,7

        Conclusion :  P( X > 18 ) ≈  0,067

   2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart type 1,95.

        a. Calculer la probabilité de l'événement ( 20 ≤ Y ≤ 21 ).

            Avec la calculatrice TI 84 :

            P( 20 ≤ Y ≤ 21 ) = normalcdf( 20 , 21, 16 , 1.95 )

         Conclusion:     P( 20 ≤ Y ≤ 21 ) ≈ 0,015 

      b. Calculer la probabilité de l'événement ( Y < 11 ) U ( Y > 21 ).

            Les événements ( Y < 11 ) et ( Y > 21 ) sont incompatibles.

             Ainsi :

           P(  ( Y < 11 ) U ( Y > 21 )) = P(  Y < 11 ) + P ( Y > 21 )

          Avec la calculatrice TI84:

            P(  Y < 11 ) = normalcdf( − 1099 , 11, 16 , 1.95 )

            P ( Y > 21 ) =  normalcdf( 21 ,  1099 , 16 , 1.95 )

             Ainsi:

           Conclusion :    P(  ( Y < 11 ) U ( Y > 21 )) ≈ 0,010

     ------------------------------------

   Partie 2

           Une chaîne de magasin souhaite fidéliser ses clients en offrant des

           bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux deçoit un bon

           d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

           Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin,

           un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

           Les bons d'achat verts prennent la valeur 30 € avec une probabilité égale à 0,067

            ou des valeurs comprises entre 0 et 15 € avec des probabilités non précisées ici.

           De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros

          avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010

           ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

            Pour la clarté faisons un arbre pondéré partiel pour traduire l'énoncé:

           Arbre ex1

      1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale

            à 30 euros sachant qu'il est rouge?

        L'énoncé est assez confus.

      • La probabilité d'avoir un bon d'achat d'une

          valeur de 30 euros sachant qu'il est rouge est :  0,015 

        car:

        <<  Les bons d'achat rouges prennent la valeur 30 €

           avec la probabilité égale à 0,015 >> 

        •​ La probabilité d'avoir un bon d'achat d'une

          valeur de 100 euros sachant qu'il est rouge est :  0,010

          car

      <<  Les bons d'achat rouges prennent la valeur 100 €

           avec la probabilité égale à 0,010 >> 

          Ces deux événements sont disjoints.

          Donc: 

          Conclusion:    

          La probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale

            à 30 euros sachant qu'il est rouge  est la somme 0,015  +  0,010  =  0,025

     2. Montrons qu'une valeur approchée à 10 − 3 près de la probabilité d'avoir un bon

          d'achat d'une valeur supérieure ou  égale à 30 € vaut 0,057.

          On a:

              ( valeur ≥ 30 ) est la réunion de deux événements disjoints:

     ( valeur ≥ 30 ) =  ( ( Bon R ) ∩( valeur ≥ 30 ) )  U  (  ( Bon V ) ∩( valeur ≥ 30 ) )

     Donc:

           Qst2ex1

     3. Regardons si les doutes du directeur sont justifiés.

          Dans l'échantillon la proportion de bons de valeur au moins 30 € est:

            F = 6 / 200

            F # 0,03

            Il veut savoir si l'échantillon est représentatif alors qu'au niveau global
              des clients privilégiés la proportion est de
            p = 0,057
            Donnons l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
             Qst3ex1
            0,03 est dans cet intervalle.
           Donc: Le directeur n'a pas de raison de s'inquiéter.
           Ce qu'il a constaté dans l'échantillon est compatible avec
          la proportion au niveau de l'ensemble des clients privilégiés.