EXERCICE 3 SUJET BTS Nov. 08
EX. 3 Une compagnie a un contrat d'entretien pour 300 ascenseurs.
On admet que, chaque semaine , la probabilité de panne d'un ascenseur est de 1 / 75 .
On suppose l'indépendance entre les pannes d'un même ascenseur ainsi que de deux
ascenseurs différents.
Soit X la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc
complet des ascenseurs.
PARTIE A. Etude X.
1. Indiquer pourquoi X suit la loi binomiale de paramètres n = 300 et p = 1 / 75.
2. Calculer, à 10- 2 près, la probabilité pour que , lors d'une semaine , il y ait ( strictement )
moins de deux pannes. ( REP : 0,09 )
PARTIE B. Approximation de X.
On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson,
de paramètre m.
On désigne par Y une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.
1. Indiquer pourquoi m est égal à 4.
2. En utilisant la variable Y, calculer une valeur approchée de la probabilité pour
que la compagnie ait à intervenir plus de 6 fois durant une semaine.
( On arrondira le résultat à 10-3 près. ) ( REP : 0,111 )
PARTIE C. Sécurité
On considère la variable aléatoire Z qui, à tout adulte, usager d'ascenseurs, choisi au
hasard , associe son poids en Kg.
On suppose que Z suit la loi normale d'espérance mathématique 70 Kg et
d'écart-type 15 Kg .
1. Calculer , à 10- 2 près, la probabilité pour qu'un adulte, usager d'ascenseurs,
choisi au hasard, pèse moins de 90 Kg . ( On prendra 4 / 3 ≈ 1,33 ) ( REP : ∏( 1,33 ) ≈ 0,91 )
Un ascenseur peut supporter 500 Kg avant la surcharge.
Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser 10-4 .
On admet que le poids total de n usagers adultes d'ascenseurs, dont les poids sont indépendants,
est une variable aléatoire S qui suit la loi normale d'espérance mathématique 70n et
d'écart - type 15 √n .
2. Calculer les probabilités de surcharge p5 lorsqu'il y a 5 adultes dans l'ascenseur
et p6 lorsqu'il y a 6 adultes dans l'ascenseur. ( Pour p5 penser que S est de loi
N ( 70 ×5 ; 15 √ 5 ) . Pour p6 penser que S est de loi N ( 70 × 6 ; 15 √ 6)
De plus la probabilité de surcharge est P( S > 500 ) . )
( On prendra 2 √ 5 ≈ 4,5 et 16 / ( 3 √ 6 ) ≈ 2,18 )
Déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l'ascenseur.)
( On ordonnera p5 , 10-4 , p6 )