INFO DV 1 BTS1 OCT.09

     INFO   Devoir n° 1         BTS 1    LOGIQUE ET RAPPELS    12 OCT. 09  

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          1 EX.           Les affirmations suivantes sont-elles des propositions?

                    " 2 < 5 "

                    " 1000 est un grand nombre "

                     " 500 est un entier pair "

                      " La fonction f : x →x²  est plus simple que la fonction

                           g : x → | x |   "

                       " La fonction   g : x → | x |   est paire "

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      Réponse:     • L'inégalité est une affirmation vraie.   OUI.

                         •  L'affirmation ne peut pas être déclarée vraie ni fausse.  NON

                        • L'affirmation est vraie.   OUI

                        • L'affirmation ne peut pas être déclarée vraie ni fausse.  NON 

                        •  L'affirmation est vraie. OUI

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             2 EX.

                 •  ( n - 1 ) ( n + 2 ) ≥ 0  , où n est dans IN

                    est-elle une propriété ( ou prédicat ) ?

                 • Dans l'affirmative, est-elle vraie pour tout n dans IN ?

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      Réponse:          • OUI.

                               Dès que n est fixé dans IN on peut savoir si l'inégalité

                                ( n - 1 ) ( n + 2 )  ≥ 0    est vraie ou fausse.

                              • NON: Contre exemple:

                                Soit n = 0 alors  on a :  ( n - 1 ) ( n + 2 ) = - 2

                                   - 2 < 0.

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              3 EX.

                    Soit la propriété:      n ( n +1 ) ( n + 2 ) est divisible par 6 , où n est dans IN   

                     Le but de l'exercice est de voir si cette 

                  propriété est vraie sur IN.

                  Il faut se poser deux questions:

                 1. Question.

                       n ( n +1 ) est-il toujours divisible par 2 pour tout n dans IN ?

                       Soit n un entier naturel .

                         Quand on divise n par 3 , il y a trois possibilités:

                         •  n est divisible par 3. (  n est de la forme 3 k avec k dans IN )

                         • 1 est le reste de la division de n par 3 . (  n est de la forme 3 k + 1 avec k dans IN )

                         2 est le reste de la division de n par 3 . (  n est de la forme 3 k + 2 avec k dans IN )

                          Dans chacun de ces trois cas la propriété est-elle vraie ? ( DISJONCTION DE CAS )

                      2 . Question.

                               On rappelle  que  2 et 3 sont premiers entre eux.

                           La propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n ?

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   Réponse:  1.     OUI .

                            n ( n +1 ) est toujours divisible par 2 pour tout n dans IN.

                              Montrons le par disjonction de cas.

                              Soit n un entier naturel .

                             Cas n pair.  

                                Alors n est divisible par 2. 

                                Donc:     n ( n + 1 ) aussi divisible par 2.

                                 C'est-à-dire :  n ( n + 1 ) est pair.

                             Cas n  impair.

                                  Ainsi  n + 1  est pair . 

                                  Alors  n + 1 est divisible par 2. 

                                  Donc:     n ( n + 1 ) aussi divisible par 2.

                                  C'est-à-dire :  n ( n + 1 ) est pair.

                         OUI .

                                n ( n + 1 )( n + 2 )  divisible par 3 pour tout entier naturel n.

                                  Montrons le par disjonction de cas.

                                   Soit n un entier naturel .

                               • n  est de la forme 3 k   où k est un entier naturel.

                                   Alors :  n ( n + 1 )( n + 2 ) = 3 k ( 3 k + 1 ) (  3 k + 2 )

                                   Comme l'un des facteur est  3 on a bien  n ( n + 1 )( n + 2 )  divisible par 3.

                               n  est de la forme 3 k + 1  où k est un entier naturel.

                                  Alors :      n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ( 3 k + 1 ) ( 3k + 2 ) (  k + 3 )

                                  c-à-d        n ( n + 1 ) ( n + 2 ) =  3 ( 3 k + 1 ) ( 3k + 2 ) (  k + 1 )

                                 Comme l'un des facteur est  3 on a bien  n ( n + 1 )( n + 2 )  divisible par 3.

                               n  est de la forme 3 k  + 2   où k est un entier naturel.  

                                  Alors :      n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ( 3 k + 2 ) ( 3 k + ) ( 3 k + 4)  

                                 c-à-d        n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 3 3 k + 2 )( k + 1 ) ( 3 k + 4 )

                                 Comme l'un des facteur est  3 on a bien  n ( n + 1 )( n + 2 )  divisible par 3.

                         2.  Ainsi n ( n + 1 ) ( n + 2 ) est divisible par 2 et par 3.

                             Comme 2 et 3 sont premiers entre eux  n( n + 1 )( n + 2 ) est divisible par 2 × 3

                                c'est-à-dire par 6. ( Utilisation du th de GAUSS)

                          Conclusion : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) est divisible par 6 pour tout n dans IN.

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                   4 EX.

                        • Soit x et y dans IR .

                           Traduire ( x , y ) ≠ ( 1 ; 3 ).

                       • Soit x dans IR .

                           Traduire | x - 1 | < 2  à l'aide de connecteurs adaptés.

                       (  On pourra représenter les réels solutions. )

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    Réponse:      • Soit x et y dans IR .

                                 ( x , y ) ≠ ( 1 ; 3 )  signifie   x ≠ 1  ou  y ≠ 3  

                        • Soit x dans IR .

                            | x - 1 | <  2  à  se traduit par    -  2    <  x - 1 2  

                            c-à-d   par      + 1 - 2 < x - 1 + 1 <  + 1 + 2          

                            c-à-d     par       - 1 < x < 3

                          c-à-d     par       - 1 < x     et    x < 3  

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                    5 EX .

                   La proposition    ( 2 > 5 ) => ( 1000 est pair )

                   est-elle vraie ?

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    Réponse:        ( 2 > 5 ) est une proposition fausse.

                            Donc  l'implication ( 2 > 5 ) => ( 1000 est pair )

                            est vraie.

                        Conclusion:    L'implication  est vraie.

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                      6 EX .

                           Soit n dans IN.

                           n pair   =>  n3 pair  ,

                          est-elle une propriété vraie dans IN ?

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      Réponse:     Soit n un entier naturel.

                            • Cas : n impair.

                               Quand n est un entier naturel impair l'implication est vraie

                              car " n pair" est faux.

                            • Cas : n pair. 

                               Quand n est un entier naturel impair, n est divisible par 2 .

                                Donc n × n × n  est aussi divisible par 2 , même par 8.

                                Donc   n3  est pair .

                           Conclusion : L'implication est vraie pour tout entier naturel n.

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                  7 EX .

                 La proposition  ( 2 < 5 ) ou ( 8 ≤ - 1 )  est-elle vraie ?

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              Réponse:

                     ( 2 < 5 ) est une proposition vraie.

                   (  8 ≤ - 1 ) est une proposition fausse.

                 Donc     ( 2 < 5 ) ou ( 8 ≤ - 1 )  est  une proposition vraie.

                 Conclusion :  OUI   

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