INFO 1DS n° 8 12 Mai 2010 1S1

             INFO 1    DS n° 8                        Mercredi 12 Mai 2010            1S1                2 Heures

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    EXERCICE 1               10 POINTS  

                      Soit la fonction  rationnelle :

                                f : x ----> ( x² + x - 2 ) / ( x - 2 )                  

                  Soit ( C ) sa courbe représentative dans le plan muni

                      d’un repère orthonormal   ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

         1. Trouver les réels a , b , c tels que :

                      f( x ) = a x + b + c / ( x - 2 )    pour tout  x  dans IR- { 2}.   

             Réponse:    On a :

                                   x2    +   x   - 2               |   x - 2  

                                  - (  x²  - 2 x)                   |      x + 3

                                              3 x  -  2              |

                                          - (  3 x  -  6 )          |

                                                        4

    La division permet de dire:

              On a : x² + x - 2  = (  x + 3 )  ( x - 2 ) + 4  

              Ainsi : ( x² + x - 2 ) / ( x - 2 ) =  x + 3 + 4 /  ( x - 2 )    pour tout  x  dans IR- { 2}.   

 

 

              On a : f (  x ) = x + 3 + 4 /  ( x - 2 )    pour tout  x  dans IR- { 2}.   

 

 

 

 

              Conclusion : a = 1      b = 3      c = 4

        2.   a. Montrer que l’expression de la fonction dérivée de f  est:

                      f ' ( x ) = ( x ( x - 4 ) ) / ( x - 2 )²     pour tout  x  dans  dans IR- { 2}.  

                Réponse:

                 On a :    f  = u + 4  ( 1 / v )   avec les fonctions    u : x →  x + 3

                                                                                         v: x  →  x - 2

                   u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur IR- { 2}.  

                    v  y est non nulle.

                      On a : f ' = u '   + 4 ( -v '  / v2    )

                             On a :   u ' : x →  1      et      v ' : x  →  1

                     Soit x dans   IR- { 2}.  

                    On a :  f ' ( x ) = 1 + 4 ( - 1 / ( x - 2 )2   )

                        c-à-d     f ' ( x ) =   [   ( x - 2 )2   - 4 ] /  ( x - 2 )2  

                        c-à-d     f ' ( x ) =   [   ( x - 2 )2   - 22 ] /  ( x - 2 )2  

                        c-à-d     f ' ( x ) =   [   ( x - 2 - 2 ) (   x - 2 + 2  ) ] /  ( x - 2 )2  

                        c-à-d     f ' ( x ) =  ( ( x - 4 ) x  ) /  ( x - 2 )2  

                   Conclusion :  f ' ( x ) = ( x ( x - 4 ) ) / ( x - 2 )²     pour tout  x  dans  dans IR- { 2}.  

               b. Donner le sens de variation de  f .

              Réponse:

                   On a :  ( x - 2 )2  > 0   pour tout x dans IR - { 2 }.

                   Ainsi :    f ' ( x )  est du signe de x ( x - 2 ) pour tout x dans IR - { 2 }. 

x - ∞                0                      2                4                 +  ∞
f '( x )         +           0         -          ||     -            0        +

    Conclusion :  f   est croissante strictement sur les intervalles  ]- ∞ , 0 ]  et [ 4 ,+∞ [

                           f   est décroissante strictement sur les intervalles [ 0 , 2 [ et       

                           ] 2   ,   4]  

           3.      Dresser le tableau de variation de  f .

                Réponse:                        

x - ∞                0                       2                    4                 +  ∞
f ' ( x )          +           0         -            ||     -            0        +
f( x )           ↑           1             ↓        ||       ↓          9          ↑
                           

        4.      Montrer que la courbe  ( C ) de la fonction  f  

              admet comme asymptote oblique la droite

                 D : y = x + 3 en +  ∞ .

             Réponse:

               On sait que :    f( x ) =   ( x + 3 ) + 4/ ( x - 2 )      pour tout x dans IR- { 2} ..

                     Donc        f( x ) -  ( x + 3 )  =  4/ ( x - 2 )      pour tout x dans IR- { 2} 

                     Or      lim   4/ ( x - 2 )    = 0

                               x  →   +  ∞

                  Ainsi :         lim   (  f( x ) - (  x + 3 )   ) =  0

                                    x  →   +  ∞

                   Conclusion :   La courbe de f  admet en  +  ∞  comme asymptote oblique

                    la droite D: y = x + 3

            5.      Montrer que la courbe  ( C ) de la fonction   f  

               admet comme asymptote verticale , la droite D’ : x = 2.

                   Réponse: 

                   On a :    f( x ) =   ( x + 3 ) + 4/ ( x - 2 )      pour tout x dans IR- { 2} 

                                    On a :        lim     4/ ( x - 2 )   = 4 / 0+   =    +  ∞

                                                       x  →  2+

                                    Ainsi :   lim  [ ( x + 3 ) + 4/ ( x - 2 ) ] =  +  ∞

                                                  x  →  2+  

                                               c-à-d     lim  f  ( x )  =  +  ∞

                                                       x  →  2+  

                                                 On a           lim     4/ ( x - 2 )   = 4 / 0-   =    -  ∞

                                                                    x  →  2-

                                                  Ainsi :   lim  [ ( x + 3 ) + 4/ ( x - 2 ) ] =  -  ∞

                                                x  →  2-  

                                                 c-à-d     lim  f  ( x )  =  -  ∞

                                                 x  →  2-  

                        Conclusion:   La courbe  ( C ) de la fonction   f  admet bien

                                                    comme asymptote verticale , la droite D’ : x = 2.

          6.     Tracer dans le même repère, les droites D et D’, la courbe ( C ) de f  .

                  

                  On reproduira et complètera le tableau de valeurs :

x

- 2

0

1

3

4

5

f ( x )

 0

 1

 0

 10

 9

 9,3

          7.       Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe ( C )  au point d’abscisse 1. 

                     Réponse:

                           On a  son équation réduite qui est :   y = f ' ( x ) ( x - 1 ) +  f( 1 )

                           Or   on a:   f ( 1 ) = 0    et       f ' ( 1 ) = - 3 

                            Ainsi :   y = - 3 x 

                         Conclusion: L’équation réduite de la tangente à la courbe ( C )  au point

                              d'abscisse 1 est y  = - 3 x  

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