INFO EX 4 S 2016

                             INFO   EX 3 Spé S    2016

            EXERCICE 4 

        1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB exprimons tan α et tan β   en fonction de x.

                On a dans le triangle  ETA rectangle en E:      tan α  = EA / ET

                On a dans le triangle  ETB rectangle en E:      tan β  = EB / ET

                Mais   EA = 25   et      EB = EA + AB = 25 + 5,6 = 30,5   et      ET = x  et  T distinct de E. 

              Donc : 

               Conclusion :   tan α   = 25 / x          tan β = 30,6 / x     

              T étant sur le segment [ E M ] privé de E  avec x = ET  et EM = 50 

               on a :  x dans l'intervalle ]0 ; 50 ] .

       2. Montrons que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle ] 0 ; π /2 [.

            C'est un résultat connu du cours.

           tan = sin / cos 

           Les fonctions sin et cos sont définies et dérivables sur  ] 0 , π / 2 [ et cos y est non nulle.

          Donc la fonction quotient  sin / cos est définie et dérivable sur  ] 0 , π / 2 [.

            On sait que :  ( sin / cos )' = ( cos × sin '  − sin × cos ' ) / cos2   

           or  sin ' = cos   et cos ' =  − sin

            D'où :    tan ' =  ( sin / cos ) ' = ( cos2   + sin2   ) / cos2   

             Mais                 cos2   + sin2  = 1

           Donc :          tan ' = 1 / cos2 

           Comme  1 / cos2    > 0   sur l'intervalle   ] 0 , π / 2 [

         on a :   tan ' > 0   sur l'intervalle   ] 0 , π / 2 [

         Conclusion : La fonction tan est strictement croissante  sur l'intervalle   ] 0 , π / 2 [.

       3. On admet que    γ est dans  ] 0 , π / 2 [.

             montrons que tan  γ = x + 765 / x sur l'intervalle ] 0 ; 50 ].

            On nous donne la formule :

                      tan( a − b ) = ( tan a −  tan b ) / ( 1 + tan a ×  tan b  )

                          avec a et b dans   ] 0 , π / 2 [.

            En remplaçant a par β   et b par α dans la formule donnée il vient:

               tan( β − α ) = ( tan β −  tan α ) / ( 1 + tan β ×  tan α  )

           On a :   γ =  β − α

           Remplaçons  tan β   et  tan α  par les expressions en fonction de x déjà trouvées.

           Soit x dan s ] 0 ; 5 0] .

                   Il vient :

               T20 1

        Conclusion : On a bien le résultat.

   4 . L'angle ATB est maximum lorsque sa mesure  γ est maximale dans   ] 0 , π / 2 [.

      Montrons que cela correspond à un minimum sur ] 0 ; 50 ] de la fonction f définie par f( x ) = x + 765 / x.

        En effet :

       L'angle ATB est maximum lorsque sa mesure  γ est maximale dans   ] 0 , π / 2 [.

        Comme la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle    ] 0 , π / 2 [.

           γ est maximale  dans   ] 0 , π / 2 [ , quand tan γ  l'est.

           C'est-à-dire quand le quotient   5,6 x / ( x2 +765 )  est maximum avec x dans ] 0 ; 50 ].

            Ainsi l'angle ATB est maximum quand  le quotient  5,6 x / ( x2 +765 )

          est maximum avec x dans ] 0 ; 50 ].

          Or   on a :     5,6 x / ( x2 + 765 )  = 5,6, / f( x )   où f( x ) est strictement positif.

      Donc:

         L'angle ATB est maximum quand  le 5,6, / f( x )  est maximum avec x dans ] 0 ; 50 ].

          Cela correspond  à un dénominateur strictement positi f(x ) le plus petit possible.

        Conclusion:    L'angle ATB est maximum quand  f(x) est minimum pour x dans ] 0 ; 50 ].

      Montrons qu'il existe une unique valeurs de x dans ] 0 ; 50 ] pour laquelle l'angle ATB est maximum.

          Soit x dans ] 0 ; 50 ].

                          f '( x ) = 1 − 765 / x2    

                         f '( x ) = ( x2  − 765 ) / x2    

                     f '( x ) est du signe de  x2  − 765   pour tout x dans   ] 0 ; 50 ]..

           Tableau de variation de f  :

                    T21

                       √ 765 ≈ 27,659

                  f est une fonction continue d'abord strictement décroissante puis strictement  croissante.

                Elle admet sur ] 0 ; 50 ] un unique minimum qui correspond à x ≈ 27,659  

             Conclusion:    ET =  x avec x égale environ à  28 m   à un mètre près

                 Ce minimum de f est 55,317

                 tan γ   ≈ 5,6 / 55,317            tan γ   ≈  0,101235

                        γ    ≈ tan− 1 ( 0,101235 )

                        γ    ≈ 0,100891

             D'où 

            Conclusion     γ ≈ 0,10  radians   à 0,01 près

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