INFO EX 3 Spé S 2016
EXERCICE 4
1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB exprimons tan α et tan β en fonction de x.
On a dans le triangle ETA rectangle en E: tan α = EA / ET
On a dans le triangle ETB rectangle en E: tan β = EB / ET
Mais EA = 25 et EB = EA + AB = 25 + 5,6 = 30,5 et ET = x et T distinct de E.
Donc :
Conclusion : tan α = 25 / x tan β = 30,6 / x
T étant sur le segment [ E M ] privé de E avec x = ET et EM = 50
on a : x dans l'intervalle ]0 ; 50 ] .
2. Montrons que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle ] 0 ; π /2 [.
C'est un résultat connu du cours.
tan = sin / cos
Les fonctions sin et cos sont définies et dérivables sur ] 0 , π / 2 [ et cos y est non nulle.
Donc la fonction quotient sin / cos est définie et dérivable sur ] 0 , π / 2 [.
On sait que : ( sin / cos )' = ( cos × sin ' − sin × cos ' ) / cos2
or sin ' = cos et cos ' = − sin
D'où : tan ' = ( sin / cos ) ' = ( cos2 + sin2 ) / cos2
Mais cos2 + sin2 = 1
Donc : tan ' = 1 / cos2
Comme 1 / cos2 > 0 sur l'intervalle ] 0 , π / 2 [
on a : tan ' > 0 sur l'intervalle ] 0 , π / 2 [
Conclusion : La fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle ] 0 , π / 2 [.
3. On admet que γ est dans ] 0 , π / 2 [.
montrons que tan γ = x + 765 / x sur l'intervalle ] 0 ; 50 ].
On nous donne la formule :
tan( a − b ) = ( tan a − tan b ) / ( 1 + tan a × tan b )
avec a et b dans ] 0 , π / 2 [.
En remplaçant a par β et b par α dans la formule donnée il vient:
tan( β − α ) = ( tan β − tan α ) / ( 1 + tan β × tan α )
On a : γ = β − α
Remplaçons tan β et tan α par les expressions en fonction de x déjà trouvées.
Soit x dan s ] 0 ; 5 0] .
Il vient :
Conclusion : On a bien le résultat.
4 . L'angle ATB est maximum lorsque sa mesure γ est maximale dans ] 0 , π / 2 [.
Montrons que cela correspond à un minimum sur ] 0 ; 50 ] de la fonction f définie par f( x ) = x + 765 / x.
En effet :
L'angle ATB est maximum lorsque sa mesure γ est maximale dans ] 0 , π / 2 [.
Comme la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle ] 0 , π / 2 [.
γ est maximale dans ] 0 , π / 2 [ , quand tan γ l'est.
C'est-à-dire quand le quotient 5,6 x / ( x2 +765 ) est maximum avec x dans ] 0 ; 50 ].
Ainsi l'angle ATB est maximum quand le quotient 5,6 x / ( x2 +765 )
est maximum avec x dans ] 0 ; 50 ].
Or on a : 5,6 x / ( x2 + 765 ) = 5,6, / f( x ) où f( x ) est strictement positif.
Donc:
L'angle ATB est maximum quand le 5,6, / f( x ) est maximum avec x dans ] 0 ; 50 ].
Cela correspond à un dénominateur strictement positi f(x ) le plus petit possible.
Conclusion: L'angle ATB est maximum quand f(x) est minimum pour x dans ] 0 ; 50 ].
Montrons qu'il existe une unique valeurs de x dans ] 0 ; 50 ] pour laquelle l'angle ATB est maximum.
Soit x dans ] 0 ; 50 ].
f '( x ) = 1 − 765 / x2
f '( x ) = ( x2 − 765 ) / x2
f '( x ) est du signe de x2 − 765 pour tout x dans ] 0 ; 50 ]..
Tableau de variation de f :
√ 765 ≈ 27,659
f est une fonction continue d'abord strictement décroissante puis strictement croissante.
Elle admet sur ] 0 ; 50 ] un unique minimum qui correspond à x ≈ 27,659
Conclusion: ET = x avec x égale environ à 28 m à un mètre près
Ce minimum de f est 55,317
tan γ ≈ 5,6 / 55,317 tan γ ≈ 0,101235
γ ≈ tan− 1 ( 0,101235 )
γ ≈ 0,100891
D'où
Conclusion γ ≈ 0,10 radians à 0,01 près
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