Activité sur U inclus dans C

                              Feuille n° 3

                                  Ensemble des nombres complexes de module 1,

                                   noté souvent U .    U est donc inclus dans C  .  

 

          ACTIVITE :  

              Soit le polynôme P( z ) = z3 –  z2 + z – 1   pour tout z dans  C

                1.Factorisez P(z ) par   z – 1

                2. Résoudre l'équation  P( z ) = 0 dans C.

                3.Les solutions de l'équation P( z ) = 0  sont-elles dans U  ?

                4.Soient  trois éléments distincts  a, b , c de U  qui vérifient

                     simultanément:

                                            a + b + c = 1

                               et             a b c = 1

                     Quelles égalités peut-on en déduire avec les conjugués de a , b , c ?

                5. Sachant que le conjugué d'un élément de U  est son inverse, en déduire que :

                                      a b + b c + c a = 1

                6. Soit le polynôme Q( z ) = z3 – ( a + b + c ) z2  + ( a b +  b c + c a ) z – 1

                     pour tout z dans C .

                   Vérifier que Q ( z ) = (z – a ) ( z – b ) ( z – c )  pour tout z dans C.

               7. Que peut-on dire de P( z ) et Q( z ) pour tout z dans C ?

               8. Déterminer l'ensemble { a , b ,c }.

               9. On note A , B , C , D , quatre points du plan complexe muni d'un repère

                    orthonormal direct d'origine O, d'affixes respectivement ,

                      a , b , c et  – 1 .

                    Que permettent de former ces quatre points dans le plan complexe ?

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