INFO EX 9 PROB 1S Juin 09

INFO   EX 9           LISTE 2    PROBA      1S                15 Juin 2009

    EXERCICE 9

           Un jeu dans une fête foraine consiste à faire tourner une roue comportant  5

          secteurs égaux numérotés de 1 à 5 puis si l'on obtient les secteurs 1 ou 2 à tirer

          une boule de l'urne U1  , sinon à tirer , au hasard une boule de l'urne U2  .

                                U1 

                                     U2

                 1.  Le joueur a droit à une première partie gratuite. Il gagne un petit souvenir

                     s'il obtient une boule rouge.

                     Quelle est la probabilité qu'il obtienne un souvenir?

                  2. La seconde partie est payante. Le joueur doit débourser 7 euros pour jouer une partie.

                           Si le joueur obtient une boule rouge alors il reçoit 10 euros.

                           Si le joueur obtient une boule jaune alors il reçoit 5 euros.

                      On note X la variable aléatoire qui indique le gain algébrique du joueur.

                        a. Donner les valeurs prises par X.

                        b. Donner la loi de probabilité de X.

                        c. Calculer l'espérance de X.  Le jeu est-il équitable?  

                        d. Trouver la variance de X.

                           Trouver l'écart -type de X .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

            Réponse:

            1.  On peut faire un arbre.

                Soit    U1   l'événement " obtenir les secteurs 1 ou 2" .

                Soit    U2   l'événement " obtenir les secteurs 3 ou 4 ou 5 " .

               On est dans une situation d'équiprobabilité.

                P(  U1  ) =  2 / 5

                P(  U2  ) =  3 / 5

 

        Dans  chaque urne on est dans une situation d'équiprobabilité.

        Ainsi dans l'urne U1  il y a une chance sur deux de tirer une boule rouge. On écrit:  PU1 ( R   )  = 1 / 2  

        Dans l'urne U2  il y a trois chances sur dix de tirer une boule rouge.  On écrit :   PU2 ( R   ) = 3 / 10    

                    Soit R l'événement " Obtenir une boule rouge".

                  " Obtenir une boule rouge"   est un événement qui est la réunion de deux chemins,

                     donc de deux événements disjoints.   U1  ∩ R   ;     U2   ∩ R .

                                 R =  (  U1  ∩ R   ) U (   U2   ∩ R  ).

                     Ainsi :  P( R ) =  P(  U1  ∩ R   ) + P(   U2   ∩ R  ).

                     La probabilité d'un chemin est le produt des probabilités rencontrées sur le chemin.

                      P( R ) = ( 2 / 5 ) × ( 1 / 2 ) + ( 3 / 5 ) × ( 3 / 10 )  

                   Conclusion:    P( R ) = 19 / 50       

      Vocabulaire pour l'avenir:

                      •      PU1 ( R   )   est la probabilité  de tirer une boule rouge sachant  

                            qu'elle provient de l'urne   U1   .

                      •       PU2 ( R   )   est la probabilité de tirer une boule rouge sachant   

                             qu'elle provient de l'urne   U2  . 

                      •       On écrit :      P( R ) =  P(  U1  )  × PU1 ( R   )  +  P(  U2  ) × PU2 ( R   )  .  

             2. a.  Les valeurs prises par X sont :   5 - 7  et  10 - 7  .                    

                      En effet:    Le gain algébrique est la différence entre ce qu'il reçoit

                                     et ce qu'il donne.

                       Conclusion : Les valeurs prises par X sont :     - 2  ;  3        en euros.

                 b. Loi de probabilité de X.   

                       •  ( X = 3 ) est l'événement  " obtenir une boule rouge".

                           Donc :      P( X = 3 ) = P( R ) = 19 / 50

                       •  ( X = - 2 ) est l'événement contraire à  (  X = 3 ).

                           Ainsi:  P( X = - 2 ) = 1 - 19 / 50 = 31 / 50 .

         Conclusion: Le tableau suivant  est la loi de probabilité de X.

x - 2 3
P(X = x ) 31 / 50 19 / 50 1

                 c.  Donnons l'espérance de X.

                     E( X ) = - 2 × ( 31 / 50 ) + 3 × ( 19 / 50 )

                      Conclusion:   E( X ) = - 0,1

                      Le jeu n'est pas équitable car l'espérance n'est pas nulle.

                 d. Donnons la variance et l'écart-type.

                         V( X ) = E( X² ) - ( E(X ) )²

                       On a:      E( X² ) =  4 ×( 31 / 50 ) + 9 ×( 19 / 50 )

                             et      ( E( X ) )² = 0,01

                                Par différence on obtient :

                        Conclusion:       V( X ) ≈ 5, 89

                        On a :  σ( X ) =√ ( V( X ) ).

                        Conclusion:         σ( X )  ≈  2,42  

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------