Révisions sur les règles algébriques usuelles. AP 14 sept 2013 TS1
EXERCICE 1
Soient x et a deux réels.
Simplifier les expressions:
• ( a2+1 + 2 a ) / (a2 - 1) quand a ≠ 1 et a ≠ - 1
• ( 6 + √8 ) / ( 2 a ) quand a ≠ 0
• ( 3 a x2 + 6 a x +12 a) / ( 6 a2 x ) quand a ≠ 0 et x ≠ 0
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REPONSE:
• Soit a ≠ 1 et a ≠ - 1
On a: ( a2+1 + 2 a ) / (a2 - 1) = ( a + 1 )2 / [ ( a - 1 ) ( a + 1 ) ] = ( a + 1) / ( a - 1 )
Conclusion: ( a2+1 + 2 a ) / (a2 - 1) = ( a + 1) / ( a - 1 )
• Soit a ≠ 0.
On a: ( 6 + √8 ) / ( 2 a ) = ( 6 + 2 √2 ) / ( 2 a ) = ( 3 + √2 ) / a
Conclusion: ( 6 + √10 ) / ( 2 a ) = ( 3 + √2 ) / a
• Soit a ≠ 0 et x ≠ 0
On a : ( 3 a x2 + 6 a x +12 a) / ( 6 a2 x ) = ( x2 + 2x + 4 ) / ( 2 a x )
Conclusion: ( 3 a x2 + 6 a x +12 a) / ( 6 a2 x ) = ( x2 + 2x + 4 ) / ( 2 a x )
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EXERCICE 2
Réduire au même dénominateur:
Soit x un réel distinct de 1 et - 1 et 0.
• 2 ( x - 1 ) / (x + 1) + 2 / ( x2 -1 )
• 5 / x - ( x + 1 ) / (x - 1 )
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REPONSE:
• Soit x un réel distinct de 1 et - 1.
On a :
Conclusion : 2 ( x - 1 ) / (x + 1) + 2 / ( x2 - 1 ) = [ 2 ( x - 1 )2 + 2 ] / ( x2 - 1 )
• Soit x un réel distinct de 1 et 0.
On a :
c-à-d 5 / x - ( x + 1 ) / (x - 1 ) = [ 5 x - 5 - x2 - x ] / ( x ( x + 1 ))
Conclusion:
5 / x - ( x + 1 ) / (x - 1 ) = [ 4 x - 5 - x2 ] / ( x ( x + 1 ))
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EXERCICE 3
Soit n un entier naturel non nul.
Transformer en un quotient l'expression:
un = n + 1 / n + ( 2 n ) / ( n + 2 )
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REPONSE:
Soit n dans IN*.
On a :
c-à-d
un = [ n2 ( n + 2) + ( n + 2 ) + 2 n2 ] / ( n ( n + 2 ) )
c-à-d un = [ n3 + 2 n2 + n + 2 + 2 n2 ] / ( n ( n + 2 )
Conclusion: un = [ n3 + 4 n2 + n + 2 ] / ( n ( n + 2 ))
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EXERCICE 4
Soit n dans IN.
Simplifier les expressions:
un = 2 n+ 1 / 22
vn = 6 n - 1 × 2n / 3n
wn = 5n × 52 × 10 - n
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REPONSE:
Soit n dans IN.
• On a: un = 2n + 1 - 2 = 2n - 1
Conclusion: un = 2n -1
• On a : vn = ( 6n -1 × 2n ) / 3n = ( 2n - 1 × 3n - 1 × 2n ) / 3n
c-à-d vn = 22 n × 2 - 1 × 3- 1 = 4n / 6
Conclusion : vn = 4n / 6
• On a: wn = 5 n + 2 / 10n = 5n + 2 / ( 5n × 2n ) = 52 / 2n
Conclusion: wn = 52 / 2n
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