INFO REVISIONS: bases algébriques

             Révisions sur les règles algébriques usuelles.        AP 14 sept 2013      TS1

             EXERCICE 1

                      Soient x et a deux réels.

                      Simplifier  les expressions:

                   •   ( a2+1 + 2 a ) / (a2 - 1)                   quand   a ≠ 1  et  a ≠ - 1

                   •   ( 6 + √8 ) / ( 2 a )                            quand  a ≠ 0

                  •     ( 3 a x2 + 6 a x +12 a) / ( 6 a2 x )         quand   a ≠ 0   et    x ≠ 0

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             REPONSE:

     •  Soit   a ≠ 1  et  a ≠ - 1

    On a:      ( a2+1 + 2 a ) / (a2 - 1) =  ( a + 1 )2 / [  ( a - 1 )  ( a  + 1 ) ] = ( a + 1)  / ( a - 1 )

             Conclusion:       ( a2+1 + 2 a ) / (a2 - 1) = ( a + 1)  / ( a - 1 )

       •  Soit   a ≠ 0.

          On a:    ( 6 + √8 ) / ( 2 a )  = ( 6 +  2 √2 ) / ( 2 a ) = (  3  + √2 ) /  a

         Conclusion:    ( 6 + √10 ) / ( 2 a )  = (  3  + √2 ) /  a

       • Soit   a ≠ 0   et    x ≠ 0

     On a :      ( 3 a x2 + 6 a x +12 a) / ( 6 a2 x ) = ( x2  + 2x + 4 ) / ( 2 a x )

          Conclusion:     ( 3 a x2 + 6 a x +12 a) / ( 6 a2 x ) =  ( x2  + 2x + 4 ) / ( 2 a x )  

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        EXERCICE 2

           Réduire au même dénominateur:

          Soit  x  un réel distinct de 1 et - 1 et 0.

                •   2 ( x - 1 )  / (x + 1)  +    2 / ( x2  -1 )

                •  5 / x  - ( x + 1 ) / (x - 1 )

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      REPONSE:

         •   Soit  x  un réel distinct de 1 et - 1.                 

                   On a :  

                       reducaumde.png              

           Conclusion :   2 ( x - 1 )  / (x + 1)  +    2 / ( x2  - 1 ) =   [ 2  ( x - 1 )2  + 2 ]  /  ( x2 - 1 ) 

         •    Soit  x  un réel distinct de 1 et 0.

               On a :

                        red.png

           c-à-d       5 / x  -  ( x + 1 ) / (x - 1 ) =  [ 5 x - 5 - x2 - x ] / ( x ( x + 1 ))

            Conclusion:

       5 / x  - ( x + 1 ) / (x - 1 ) =  [ 4 x - 5 - x2  ] / ( x ( x + 1 ))  

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               EXERCICE 3

                Soit n un entier naturel non nul.

                  Transformer en un quotient l'expression:

                         un =   n +  1 / n + ( 2 n ) / ( n + 2 )

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          REPONSE:

              Soit n dans IN*.

              On a :  

                redu-1.png

               c-à-d  

                       un =  [ n2 ( n + 2) + ( n + 2 ) + 2 n2  ] / ( n ( n + 2 ) )

                c-à-d    un = [ n3 + 2 n2 + n + 2 + 2 n2 ] / ( n ( n + 2 )

               Conclusion:     un = [ n3 + 4 n2 + n + 2   ] / ( n ( n + 2 ))

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          EXERCICE 4

            Soit n dans IN.

         Simplifier les expressions:

                 un = 2 n+ 1   /  22             

                vn = 6 n - 1   ×  2n    /  3n     

                wn  =  5n   × 52   × 10 - n    

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    REPONSE:

                   Soit n dans IN.  

             • On a:     un =   2n + 1 - 2   =  2n - 1

                 Conclusion:     un  = 2n -1

         • On a :   vn = (  6n -1  ×  2n  )  /   3n  = (  2n - 1   ×  3n - 1   ×  2n )  /  3n  

              c-à-d         vn = 22 n  × 2 - 1  × 3- 1  = 4n / 6

              Conclusion :   vn =   4n / 6 

         •  On a:  wn  =   5 n + 2   / 10n   =  5n + 2 / (  5n  × 2n  ) = 52   / 2n

                Conclusion:    wn =  52   / 2n  

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