TEST n° 2 TES SPE du 18 novembre 2013

              TEST n° 2    TES   SPE MATH             18 novembre 2013

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   EXERCICE 1

       La population de la ville d'Alamuno a évolué suivant le tableau suivant:

       Une année de rang x est l'année 1975 + 5 x

       f( x) est le nombre de milliers d'habitants l'année de rang x.

Année  1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Rang x de l'année  0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 3 5,4 7 8 8,6 9,3 9,7 10

      graphique-1.png

       Le graphique permet de penser à modéliser par une

      fonction homographique d'expression :

             f( x ) = a + b / ( x + 3)

     1. Traduire par un système le fait que

             f( 0 ) = 3         f( 2) = 7            f( 7 ) = 10

     2. En déduire a et b.

         Donner l'expression de f obtenue.

     3. A l'aide de cette modélisation que peut-on prévoir

          pour 2020 ?

    4. Le nombre d'habitants reste-t-il toujours en dessous

         d'un certains seuil?(Expliquer )

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   EXERCICE 2 

           Un ostréiculteur a décidé de modéliser sa recette

           à l'aide d'une fonction f , trinôme du second  degré. 

                       f ( x ) = a x2 + b x+ c   avec x dans l'intervalle [ 0 ; 10 ]

           f( x ) est la recette exprimée en euros pour x tonnes d'huîtres  vendues.

            Il a relevé les résultats suivants

   Quantité x vendues en tonnes    0      1     2   
    Recette  en euros  0  3800   7200 

            1. Trouver l'expression de f.

           2. Quelle est  la recette prévisible pour la vente de 9 tonnes d'huîtres?

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     EXERCICE 3 

           On s'intéresse au taux d'évolution des prix t % au début de 2011.

           On convient pour la lisibilité de considérer 100 t% au lieu de taux t %.

           Il suffit de diviser par 100 pour retrouver le vrai taux de variation des

           prix de 2010 à 2011.

          Le taux de variation des prix d'un mois se calcule par rapport aux prix

          du même mois de l'année 2010.

           Voici le tableau pour les mois de janvier (rang 1), avril (rang 4) et juillet (rang 7).

   rang du mois        1          4       7       
t% de variation sur un an   - 0,6%  + 0,99% + 3,3 %  
100 t %   - 60 %   + 99 %   330 %  

             On pense modéliser à l'aide de la fonction polynôme

             du troisième degré d'expression:

              f (x ) = a x3 + b x2 + c x + d

               x est le rang du mois c'est-à-dire un entier entre 1 et 12.

              f( x ) % = 100 × pourcentage t% de variation des prix le mois x .

            On a constaté le mois de rang x = 5  qu'il y avait  un changement 

            dans l'évolution des pourcentages de variations des prix.

            Avant le mois de rang x = 5 la hausse des prix s'accélère.

            Après le mois de rang x = 5 la hausse des prix décélère.

           Cela se traduit par un extremum pour f ' la dérivée de f.

           C'est-à-dire f ' ' s'annule en changeant de signe en x = 5.

          On dit que f admet un point d'inflexion en x = 5.

         1. Calculer f ' et f ' '.

            Traduire f ' ' ( 5 ) = 0  par une équation.

        2. A l'aide du tableau ci-dessus et de la question précédente

            donner un système de quatre équations d'inconnues

            a , b , c , d.

         3. Résoudre alors ce système.

             On l'écrira sous la forme matricielle et on utilisera

             la calculatrice en présentant les solutions exactes

             éventuellement sous forme fractionnaire.

             Donner l'expression f(x).

         4. Donner le tableau de variation de la fonction f

             entre 1 et 12.

         5. Que permet de prévoir ce tableau pour les mois

             suivants ,  août, septembre, ..... , décembre 2011?

            Pour novembre, quel taux de variation des prix est

            prévu par le modèle ? 

        6. Finalement en novembre 2011 le taux de variation des prix 

                a été de 3,8 %.

           La modélisation faite a -t-elle été judicieuse?

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