INFO EX 3 Feuille 2 suites TS

                INFO   EXERCICE 3     FEUILLE 2      SUITES   TS   SEPT 2012

     EXERCICE 3         

                     Soit:

                          suites-adjacentes-ex-3-feuille-2.gif

                Montrer que les deux suite ( un ) et ( vn ) sont adjacentes sur IN*.

           ( La limite commune est ln2. Elle n'est pas demandée .)

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   REPONSE:

              • Considérons   un + 1   -  un   et donnons son signe:

             Soit n dans IN*.

              On a:

       un      =  1 / ( n + 1 )1 / ( n + 2 ) +  ......+ 1 / ( n + n )

       un + 1  =                      1 / ( n + 2 ) + ......  + 1 / ( n + n )  +1 / ( n + n + 1 ) +   1 /( n + n + 2)

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  Donc :         un + 1   -  un   = 1 / ( n + n + 1 ) +   1 /( n + n + 2 )   - 1 / ( n + 1 ) 

      c-à-d     un + 1   -  un   1 / ( 2 n  + 1 ) +   1 /( 2 n + 2 )   - 1 / ( n + 1 ) 

      c-à-d      un + 1   -  un   1 / ( 2 n  + 1 ) +   1 /( 2( n + 1 ) )   - 1 / ( n + 1 ) 

     c-à-d              un + 1   -  un   1 / ( 2 n  + 1 )   -  1  / ( 2 ( n + 1 ) )  

     c-à-d          egalite-ex3.gif

     c-à-d               un + 1   -  un   1 / [  2 ( 2 n  + 1 )  ( n + 1 )   ]

      On a               1 / [  2 ( 2 n  + 1 )  ( n + 1 )   ] > 0    pour tout n dans IN*

      c-à-d             un + 1   -  un   > 0   pour tout n dans IN*

                    Conclusion : La suite ( un ) est croissante sue IN*.

           • Considérons      vn + 1   -  vn  et donnons son signe.

                  Soit n dans IN*.                 

               On voit que :       vn  =    1/  n  +  u              

                 Donc                 vn + 1 =  1 / ( n + 1 ) +  un + 1    

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  Ainsi  par différence :      

                                            egalites-ex-4-deuille-2.jpg    

   c-à-d               vn + 1  -  v  = - 1/ ( n ( n + 1 ))   +  1 / [  2 ( 2 n  + 1 )  ( n + 1 )   ] 

     c-à-d        

                                                 egalite-929.gif

      Donc       vn + 1  -  v  < 0 pour tout n dans IN* .

                                Conclusion:  

                                  conclusion-84-1.jpg

                                     sur IN*                      

     Donc                

                     egalite-1789.gif

      Les trois conditions pour que les deux suites soent adjacentes sont avérées.

              Conclusion: Les deux suites sont bien adjacentes