INFO EXERCICE 3 FEUILLE 2 SUITES TS SEPT 2012
EXERCICE 3
Soit:
Montrer que les deux suite ( un ) et ( vn ) sont adjacentes sur IN*.
( La limite commune est ln2. Elle n'est pas demandée .)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
REPONSE:
• Considérons un + 1 - un et donnons son signe:
Soit n dans IN*.
On a:
un = 1 / ( n + 1 ) + 1 / ( n + 2 ) + ......+ 1 / ( n + n )
un + 1 = 1 / ( n + 2 ) + ...... + 1 / ( n + n ) +1 / ( n + n + 1 ) + 1 /( n + n + 2)
-----------------------------------------------------------------------
Donc : un + 1 - un = 1 / ( n + n + 1 ) + 1 /( n + n + 2 ) - 1 / ( n + 1 )
c-à-d un + 1 - un = 1 / ( 2 n + 1 ) + 1 /( 2 n + 2 ) - 1 / ( n + 1 )
c-à-d un + 1 - un = 1 / ( 2 n + 1 ) + 1 /( 2( n + 1 ) ) - 1 / ( n + 1 )
c-à-d un + 1 - un = 1 / ( 2 n + 1 ) - 1 / ( 2 ( n + 1 ) )
c-à-d un + 1 - un = 1 / [ 2 ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ]
On a 1 / [ 2 ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ] > 0 pour tout n dans IN*
c-à-d un + 1 - un > 0 pour tout n dans IN*
Conclusion : La suite ( un ) est croissante sue IN*.
• Considérons vn + 1 - vn et donnons son signe.
Soit n dans IN*.
On voit que :