LOGIQUE POUR RACINE DEUXIEME

                                                         MATHS . EXPERT                  17    Février 2022                       

                  LOGIQUE POUR TROUVER UNE RACINE DEUXIEME D'UN NOMBRE  COMPLEXE NON NUL

           Soit  les nombres complexes non nuls sous la forme algébrique,  Z = x + i y   et 1 + i .

           D’après l’égalité de deux nombres complexes sous la forme algébrique on a l’équivalence :

                                Z  = 1 + i             [  Re( Z )= Re( 1+ i )  et  Im( Z2 )= Im( 1+ i  ) ]

            On peut alors  écrire aussi:

                  Z2 = 1 + i  ó    [ Re( Z2 )= Re( 1+ i )   et   Im( Z2 )= Im( 1+ i )     et  | Z2 | = | 1 + i |   ]

             En effet :         Z2 = 1 + i       | Z2 | = | 1 + i |   

            On peut schématiser : 

              Z2 = 1 + i   notée  p     ,   (  Re( Z2 )= Re( 1+ i )  et  Im( Z2 )= Im( 1+i )  ) notée  q   ,

              et    | Z2 | = | 1 + i |  notée  r

       EXPLICATIONS :

           Soient  p , q , r  trois propositions :

            Soit :           p ó q    ,  et    q ⇒  r  .

            Alors  on a :     p  r  , et     p ó( q et r )   , et     ( p et r ) ó q    .

           Démonstration :

         • On a :          p  q                 car  par hypothèses   p ó

          De plus:           q r                par hypothèses

           Conclusion:     p  r              ( Transitivité de la relation     )

          • ♦ On a  vu que :            p q      et    p   r

               Donc :                  p  ( q et r )          ( Transitivité de       )                   ( 1 )

              ♦  De plus :          ( q et r )  q 

               Et                        q  p                        car   par hypothèses      p ó

               Donc :               ( q  et  r )               (  Transitivité de     )                  ( 2 )

             Conclusion :  ( 1) et ( 2 )   donnent    p ó( q et r )   

             •  Pour l’autre équivalence il suffit de  permuter  p et q .

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