Devoir 1 BTS

         Devoir n° 1                 BTS             LOGIQUE ET RAPPELS

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          1 EX.           Les affirmations suivantes sont-elles des propositions?

                    " 2 < 5 "

                    " 1000 est un grand nombre "

                     " 500 est un entier pair "

                      " La fonction f: x →x²  est plus simple que la fonction

                           g : x → | x |   "

                       " La fonction   g : x → | x |   est paire "

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             2 EX.

                 •  ( n - 1 ) ( n + 2 ) ≥ 0  , où n est dans IN

                    est-elle une propriété ( ou prédicat ) ?

                 • Dans l'affirmative, est-elle vraie pour tout n dans IN ?

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              3 EX.

                    Soit la propriété:      n ( n +1 ) ( n + 2 ) est divisible par 6 , où n est dans IN   

                    Est-elle vraie sur IN.

                pour cela on considère les questions suivantes:

                 1. Question.

                       n ( n +1 ) est-il toujours divisible par 2 pour tout n dans IN ?

                       Soit n un entier naturel .

                         Quand on divise n par 3 , il y a trois possibilités:

                         •  n est divisible par 3. (  n est de la forme 3 k avec k dans IN )

                         • 1 est le reste de la division de n par 3 . (  n est de la forme 3 k + 1 avec k dans IN )

                         2 est le reste de la division de n par 3 . (  n est de la forme 3 k + 2 avec k dans IN )

                          Dans chacun de ces trois cas la propriété est-elle vraie ? ( DISJONCTION DE CAS )

                      2 . Question.

                               On rappelle  que  2 et 3 sont premiers entre eux.

                           La propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n ?

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                   4 EX.

                        • Soit x et y dans IR .

                           Traduire ( x , y ) ≠ ( 1 ; 3 ).

                       • Soit x dans IR .

                           Traduire | x - 1 | < 2  à l'aide de connecteurs adaptés.

                       (  On pourra représenter les réels solutions. )

                        Rappel:    | x - a | < r  signifie   a - r  <  x  <  a + r           où a  et x sont des réels

                                                                                                                et r ≥ 0

                       ------------------•---------------•---------------•-------------------  droite des réels

                                         a - r               a                a + r

                          Rappel:

                                      | x - a | > r  signifie  x > a + r  ou x < a - r              où a et sont des réels

                                                                                                                          et r ≥0

                        -----------------•------------•------------•------------------   droite des réels

                                          a - r           a          a + r

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                    5 EX .

                   La proposition    ( 2 > 5 ) => ( 1000 est pair )

                   est-elle vraie ?

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                      6 EX .

                           Soit n dans IN.

                           n pair   =>  n3 pair  ,

                          est-elle une propriété vraie dans IN ?

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                    7 EX .

                 La proposition  ( 2 < 5 ) ou ( 8 ≤ - 1 )  est-elle vraie ?

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