ACTIVITE SUR LE PRODUIT SCALAIRE AVRIL 09 1S
Soit A et B deux points distincts.
Soit I le milieu du segment [AB] .
1. Etablir que: vect( MA ). vect( MB ) = MI² - AB² / 4
2. A présent on a AB = √5.
a. Trouver l'ensemble des points M du plan tels que vect( MA ). vect( MB ) = - 5 / 4.
b. Trouver l'ensemble des points M du plan tels que vect( MA ). vect( MB ) = - 3 / 2.
c. Trouver l'ensemble des points M du plan tels que vect( MA ). vect( MB ) = 3 / 4.
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Réponse:
1. D'après Chasles on a:
vect( MA ). vect( MB ) = [ vect( MI ) + vect( IA ) ]. [ vect( MI ) + vect( IB ) ]
Comme I est le milieu du segment [ AB ] on a vect( IB ) = - vect ( IA )
Ainsi :
vect( MA ). vect( MB ) = [ vect( MI ) + vect( IA ) ]. [ vect( MI ) - vect( IA ) ]
c-à-d vect( MA ). vect( MB ) = ( vect( MI ) )² - ( vect( IA ) )²
c-à-d vect( MA ). vect( MB ) = MI² - IA²
Mais IA = AB / 2
Donc vect( MA ). vect( MB ) = MI² - ( AB / 2 )²
c-à-d vect( MA ). vect( MB ) = MI² - AB² / 4
2 . a. Considérons vect( MA ). vect( MB ) = - 5 / 4
Cela s'écrit MI² - AB² / 4 = - 5 / 4
c-à-d MI² - ( √5 )² / 4 =- 5 / 4
c-à-d MI² - 5 / 4 = - 5 / 4
c-à-d MI² = 0
c-à-d MI = 0
c-à-d M = I
Conclusion : L'ensemble cherché est donc { I }
b. Considérons vect( MA ). vect( MB ) = - 3 / 2
Cela s'écrit MI² - AB² / 4 = - 3 / 2
c-à-d MI² - 5 / 4 = - 3/ 2
c-à-d MI² = 5 / 4 - 3/ 2
c-à-d MI² = - 1 / 4
IMPOSSIBLE
Conclusion : L'ensemble cherché est donc Ø
c. Considérons vect( MA ). vect( MB ) = 3 / 4
Cela s'écrit MI² - AB² / 4 = 3 / 4
c-à-d MI² - 5 / 4 = 3/ 4
c-à-d MI² = 5 / 4 + 3/ 4
c-à-d MI² = 2
c-à-d MI = √2
Conclusion : L'ensemble cherché est donc le cercle de centre I et
de rayon √2 .
Figure: