ACTIVITE PROD SCALAIRE

    ACTIVITE SUR LE PRODUIT SCALAIRE               AVRIL 09    1S

           Soit A et B deux points distincts.

           Soit I le milieu du segment [AB] .

        1. Etablir que:       vect( MA ). vect( MB )  = MI² - AB² / 4

        2. A présent on a  AB = √5.

           a.  Trouver l'ensemble des points M du plan tels que  vect( MA ). vect( MB ) = -  5 / 4.

           b.  Trouver l'ensemble des points M du plan tels que  vect( MA ). vect( MB ) = - 3 / 2.

           c.   Trouver l'ensemble des points M du plan tels que  vect( MA ). vect( MB ) = 3 / 4.

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     Réponse:               

         1.   D'après Chasles on a:  

        vect( MA ). vect( MB ) = [ vect( MI ) + vect( IA ) ]. [  vect( MI ) + vect( IB ) ] 

        Comme I est le milieu du segment [ AB ] on a    vect( IB )   = - vect ( IA )

        Ainsi :

            vect( MA ). vect( MB ) = [ vect( MI ) + vect( IA ) ]. [  vect( MI ) - vect( IA ) ]  

 c-à-d    vect( MA ). vect( MB ) = ( vect( MI ) )²  -  ( vect( IA ) )²

c-à-d      vect( MA ). vect( MB ) = MI²   -  IA²

             Mais   IA = AB / 2

 Donc      vect( MA ). vect( MB ) = MI²   -  ( AB / 2 )²

    c-à-d    vect( MA ). vect( MB ) = MI²   -  AB² / 4

             2 . a.  Considérons     vect( MA ). vect( MB ) = - 5 / 4

                   Cela s'écrit     MI² - AB² / 4 = - 5 / 4

                 c-à-d        MI² - ( √5 )² / 4 =-  5 / 4

                 c-à-d        MI² -  5  / 4 = - 5 / 4 

                  c-à-d        MI² = 0

                   c-à-d        MI = 0

                  c-à-d     M = I

    Conclusion :     L'ensemble cherché est donc { I }  

                     b. Considérons     vect( MA ). vect( MB ) = - 3 / 2

                         Cela s'écrit     MI² - AB² / 4 = - 3 / 2

                                    c-à-d    MI² -  5  / 4 = - 3/ 2

                                  c-à-d     MI² =   5  / 4  - 3/ 2

                                  c-à-d     MI² = - 1 / 4

                                              IMPOSSIBLE

    Conclusion :     L'ensemble cherché est donc  Ø 

                 c.    Considérons     vect( MA ). vect( MB ) = 3 / 4

                         Cela s'écrit     MI² - AB² / 4 =  3 / 4

                                    c-à-d    MI² -  5  / 4 =  3/ 4

                                  c-à-d     MI² =   5  / 4  + 3/ 4

                                   c-à-d    MI²  = 2

                                        c-à-d  MI = √2

       Conclusion :     L'ensemble cherché est donc  le cercle de centre I  et

                                  de rayon   √2 .

               Figure: