DS n° 6 TS2 13 fév 2012

                   INFO   DEBUT EX2         DS  n° 6    TS2       13 fév 2012

 

           EXERCICE 2   

            On considère les suite ( u ) et ( v ) définies pour tout entier naturel n par:

                       u(0)  =  0                                             v(0) =  2

                    u( n+ 1)    =  ( 3 u( n ) + 1) / 4                      v(n+1) =  ( 3 v(n) + 1) / 4

           1. Calculer  u(1) ,   u(2)  , u(3) d'une par et v(1), v(2), v(3).   

                Réponse:

                                          u(1)=  1/4         u(2)= 7 / 16            u(3 )= 37/ 64

                                v(1)= 7/4                v(2)= 25 / 16                v(3)=91/ 64

            2. Dans un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) ( unité graphique : 5 cm )

                 tracer les droites D et   Δ  d'équations respectives y = ( 3 x + 1 ) / 4    et y = x .

                 Utiliser D et  Δ  pour construire sur l'axe des abscisses les points A1 , A2 , A2 .

                 d'abscisses respectives   u(1) , u(2)  u(3)   ainsi que les points B1 , B2 , B2  d'abscisses

                   respectives   v(1) , v(2) ,  v(3) .

                        Les tracés seront efectués sur une feuille de papier millimétré.

                 600.jpg                       

          3. On considère la suite ( s ) définie pour tout entier naturel par n par s(n) = u(n) + v(n) .

                a . Calculer  s(0) , s(1), s(2) , s(3) .  A partir de ces résultats , que peut-on conjecturer pour la suite ( s )  ?

                              s(0) = u(0) + v(0) = 0 + 2 = 2

                              s(1) = u(1) + v(1) = 1 / 4 + 7 / 4 = 8 / 4 = 2

                               s(2) = u(2) + v(2) = 7 / 16 + 25 / 16 = 32 / 16 = 2

                              s( 3) = u(3) + v(3) = 37 / 64 + 91 / 64 =   128  / 64 = 2 

                      On peut conjecture que la suite est constante :

                       s( n )  = 2    pour tout   n dans IN

                b. A l'aide d'un raisonnement par récurrence , montrer que la suite ( s )

                    est une suite constante.

                     •n = 0      Ona  :    s(0 ) = u( 0 ) + v( 0) = 0 + 2 = 2

                                                     C'est vrai pour n = 0

                      • Soit n dans IN quelconque.

                       Montrons que  si  s( n)  =2  alors        s( n + 1 ) =2

                       On a       s( n+ 1)= u( n + 1 ) + v(n+1) =  ( 3 u(n)+ 1) / 4  + ( 3 v(n)+ 1) / 4 

            c-à-d             s( n + 1 ) =( 3/4) ×( u(n)+ v(n ) ) + 1 / 2 =( 3/ 4) s(n ) + 1 / 2

            c-à-d             s( n+ 1 ) = (3 / 4 )× 2 + 1 / 2 =4 / 2 = 2

             c-à-d             s( n+1)=2  

                                  Conclusion:                                          

                                         On bien  montré par récurrence que s( n ) = 2 pour tout n dans IN 

                          DS n ° 6    Suite de la correction  sur INFO  EX 2 FIN