INFO EX1 SYSTEME LINEAIRE

  INFO EX 1 SYSTEME LINEAIRE              mars 2009   

  Résoudre dans IR  le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z . ←

    x   +  y    - z   = 0            

    2 x -  y + 2 z  = - 2                             

    x +  3 y - z   =   4           

 

 / 1   1 -1 |    0  \        
|  2 - 1  2 |  - 2   |       
 \ 1   3 -1 |    4   /        

 On devra obtenir  S = { ( - 1 ; 2 ; 1 ) }

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Réponse:   est le premier pivot.

 

 / 1   1 -1 |    0  \             L1   
|  2 - 1  2 |  - 2    |           L2   
 \ 1   3 -1 |    4   /            L3  

 On fait   L2  ←   L2  -  2 L1    et   L3  ←   L3  -  L1   

 On obtient le système équivalent suivant:

 / 1   1 -1 |    0  \            L1   
|  0 - 3  4 |  - 2    |         L2     
 \ 0   2  0 |    4   /           L3  

On fait  la permutation des inconnues y et z. Cela évite une transformation plus

compliquée.

Pour cela on permute les colonnes des coefficients de y et z.

On obtient donc le système d'inconnues x , z , y suivant:

 / 1   -1   1 |    0  \            L1   
|  0    4 - 3 |  - 2    |          L2   
 \ 0   0   2 |    4   /            L3  

  C'est un système triangulaire.

  L3    donne  2 y = 4  Donc   y = 2 

  Puis L2  donne       4 z - 3 y = - 2 .

               c-à-d       4 z = 3 y - 2 = 3 ( 2 ) - 2 = 4

              c-à-d          z = 4 / 4  =  1

              c-à-d      z = 1 

  Enfin      L  donne   x  - z + y = 0 .

          c-àd        x = z - y = 1 - 2 = - 1

          c-à-d        x = - 1  

  Conclusion:  S = { ( - 1  ;  2 ; 1 ) }

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           Il n'y a qu'un seul triplet de réel qui soit solution du système.

           ATTENTION : Il n'en est pas toujours ainsi.

   On pourrait avoir l'ensemble vide ou encore une infinité de solutions.