INFO 4 DV n° 7 1S 27 mars 10

           INFO 4                 Devoir n ° 7                 1S      27 Mars 2010  reporté au 17 AVRIL 2010 

           EXERCICE 4

                             La fonction  f  est une  fonction définie et dérivable dans  l'intervalle I = [ 1 ; 3 ]

          Le plan est muni d'un repère orthonormal

          .

           Soit ( C ) la courbe de f .

           On ne connait pas ( C ). Le but est de trouver une courbe ( C ' )

           qui approche ( C ).

             1 .  Tracer la courbe ( C ' ) qui approche  ( C ) sur l'intervalle [ 1 ; 3 ] avec un pas  h = 0, 5 .

                  METHODE D'EULER

               Vous pouvez utiliser un tableau EXCEL:

           Soit h = 0, 5  ( Le pas )

         • On dispose de la valeur de la fonction f  en x = 1.

           f( 1 ) = 0

          Par contre on ne dispose pas de l'expression de f.

          • On dispose sur I de l'expression de f '.

             f ' ( x ) = 1 / x   pour tout x dans I.

          On peut alors approcher la courbe ( C ) de f  sur les intervalles

           [ 1 ; 1 ,5 ] , [ 1,5 ;  2 ] ,  [ 2  ;  2,5  ] ,  [ 2,5  ;  3]   par une succession

          de segments "de tangentes fictives."

          On utilise l'approximation affine  : ( comme h est sensé être proche de 0 )                                            

                       f ( 1 ) =   0 

   f(  1,5 ) = f( 1 + 0, 5 )   ≈  f ( 1 ) + 0,5 ( 1 / 1 )    c-à-d     f( 1,5 )   ≈  0,5

   f(  2 ) = f( 1,5 + 0,5 )  ≈  f ( 1,5 ) + 0,5 ( 1 / 1,5 )    c-à-d   f(  2 ) ≈  0,83

   f(  2,5 ) = f( 2 + 0,5 )  ≈ f( 2 ) + 0,5 ( 1 / 2 )         c-à-d   f(  2,5 ) ≈  1,08  

  f(  3 ) = f( 2,5 + 0,5 )  ≈ f( 2,5 ) + 0,5 ( 1 / 2,5 )     c-à-d   f(  3 ) ≈  1,28  

    Comme on utilise chaque fois l'approximation précédente la précision décline vite.  

            

       On dispose d'un tableau de valeurs fictives. On place les points que l'on joint à la règle.

 

x 1 1,5 2 2,5 3
f( x ) approchée 0 0,5 0,83 1,08 1,28

      On peut soit faire les calculs à la calculatrice , soit utiliser un tableur.

       La céllule de la ligne 2 et de la colonne D contient la valeur du pas h , ici 0,5.

      On écrit  D$  dans les formules au lieu de D8 pour désigner h.

     Cela  permet à l'ordinateur de considérer que le contenu de la céllule D8

     contient une constante qui ne varie pas dans les " copier coller".

     Si l'on veut changer de pas cela va beaucoup plus vite avec l'ordinateur.

               

    2. Tracer sur le même graphique la courbe de la fonction ln de la calculatrice.

        C'est celle  ( C ) de la fonction f sur cet intervalle.

         La fonction ln est sur la calculatrice.

        Considérons le tableau de valeurs pour ln.    

x 1 1,5 2 2,5 3
ln x 0 0,405 0,693 0,916 1,098

        On peut tracer  la vraie courbe de f sur le même graphique.

            

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