EXERCICE1 SUR LES FORMES INDETERMINEES TS SEPT 2012
EXERCICE 1
Soit un = ( n2 + n + 1 ) × ( 1 / n + 1 / n2 ) pour tout n dans IN* .
Trouver lim un
n → +∞
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Réponse:
Dans un premier temps, de tête ou au brouillon on peut " passer à la limite" pour voir
si on peut directement obtenir la limite de la suite (un ) .....
On a: lim ( n2 + n + 1 ) = lim n2 = + ∞
n → +∞ n → +∞
De plus lim ( 1 / n + 1 / n2 ) = 0 + 0 = 0
n → +∞
Ainsi
lim ( ( n2 + n + 1 ) × ( 1 / n + 1 / n2 ) ) = ( + ∞ ) × 0 DANGER
n → +∞ AUCUNE SIGNIFICATION
On obtient une FORME INDETERMINEE
La situation est bloquée. On est dans une impasse.
LEVONS LA FORME INDETERMINEE.
Pour cela modifions la présentation de l'écriture de un.
Soit n dans IN*
Considérons : un = ( n2 + n + 1 ) × ( 1 / n + 1 / n2 )
c-à-d un = ( n2 + n + 1 ) × ( n + 1 ) / n2
On a un quotient de deux polynômes en n.
Le terme de plus haut degré au numérateur est n2 × n = n3 .
Le terme de plus haut degré au dénominateur est