INFO EX 0 EPREUVE BTS MATRICE

   

 EX 0    EPREUVE DE BTS        BTS1        MATRICES ET SYSTEMES LINEAIRES        Mars 2009

      EXERCICE. 0

   Soit les matrices M , I , X , Y respectivement égales à

 /  -1 -3 0    \
|     1 -1 0     |
 \   1  3 2    /
   
 /     1 0    0      \
|       0 1 0       |
 \      0 0 1      /
 /   x   \
|     y    |
 \   z   /

 

           

 /  a  \
|   b   |
 \  c   /

   où x , y , z , a , b , c sont des nombres réels.

 On considère le système d'équations :

             - x - 3 y        = a

               x - y            = b             noté ( S )

              x + 3 y + 2 z = c

 1. Montrer que résoudre le système ( S ) à trois inconnues x , y , z équivaut

     à résoudre l'équation ( E ) : MX = Y  , où l'inconnue  est la matriceX.

 Il apparaît que M X est la matrice :

 ⁄   - 1 -3   0         \  /  x    \  /   - x  - 3 y            \   
|      1 -1 0          |  × |   y      |   = |     x -  y                   |               
 \     1  3 2         /  \  z    /  \   x + 3 y + 2 z    /

Ainsi  M X = Y se traduit par : 

    - x  - 3 y          \   /   a   \
|        x -  y                   |                   =       |    b     |
 \     x + 3 y + 2 z     /     \  c    /

c-à-d

             - x - 3 y         = a

               x - y           =  b          

              x + 3 y + 2 z = c

   Conclusion:

   (  S  ) s'écrit :

 ⁄   - 1 -3   0         \  /  x    \  /   a   \   
|      1 -1 0          |  × |   y      |   = |     b    |               
 \     1  3 2         /  \  z    /  \   c   /

  c-à-d    M X = Y  

 2. a. Calculer   M2 , M3 .

 M² =

 /     -2   6      0   \
|       -2 -2 0    |
 \       4   0 4   /
 

 

et   M3 =

  /    8 0       0   \
 |      0 8 0    |
  \    0 0 8   /

 

 

   b. Exprimer   M3  en fonction de I .

  On finalement    M3  = 8 × I

 3. a. Montrer que : MX = Y équivaut à : X = ( 1 / 8 ) M² Y.

          On a :    MX = Y   équivalent à     MX =   Y 

         c-à-d       MX = Y   équivalent à     M3  X = M²  Y

         c-à-d       MX = Y   équivalent à   8 × I X  = M²  Y

      c-à-d       MX = Y   équivalent à   8 X  = M²  Y

          c-à-d       MX = Y   équivalent à   X  = ( 1 / 8 ) M² Y

     Conclusion :   On bien l'égalité demandée.

      b. En déduire la résolution du système ( S ) .

            M2 Y est la matrice

 /     -2 a   + 6 b      + 0       \
|       -2 a  -   2 b  + 0         |      
 \       4 a     +  0 + 4 c     /
colonne:

    

c-à-d  

 / - 2a + 6 b    \
|   - 2 a -2 b       |
 \    4 a + 4 c   /

Ainsi la matrice ( 1 / 8 ) M² Y est : 

 / - ( 1 / 4 ) a + (3 / 4) b    \
|  - ( 1 / 4 ) a - ( 1 / 4 ) b      |
 \    ( 1 / 2 )a +( 1 / 2) c     /

Donc la matrice solution X est la matrice

 / - ( 1 / 4 ) a + (3 / 4) b    \
|  - ( 1 / 4 ) a - ( 1 / 4 ) b      |
 \    ( 1 / 2 )a +( 1 / 2) c     /

     Conclusion: S = { ( - ( 1 / 4 ) a + (3 / 4) b  ,   - ( 1 / 4 ) a - ( 1 / 4 ) b  ,  ( 1 / 2 )a +( 1 / 2) c  ) }

  c. Donner les solutions de ( S ) lorsque  a = 3 , b = - 5 et c = 4.

  Alors la matrice X est :  

 / - ( 1 / 4 ) 3 + (3 / 4) ( - 5 )    \
|  - ( 1 / 4 ) 3 - ( 1 / 4 ) ( - 5 )      |
 \    ( 1 / 2 ) 3  +( 1 / 2) 4           /

  c-à-d

 /    - 9 / 2     \
|        1 /2        |
 \      7/ 2      /

  Conclusion :    x = - 9 / 2            y = 1 / 2            z = 7 / 2

                    On écrit : S =  { ( - 9 / 2  , 1 / 2 , 7 / 2 ) }

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