EX PROB TS

      INFO EXTRAIT D'EXERCICE DE BAC          PROBABILITE           TS         Mars 2011

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        EXERCICE

         QCM

          Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

           Aucune justification n'est demandée.

          Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est

          retiré pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

      1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher:

             7 sont blanches et   3 sont noires     

             On tire simultanément 3 boules de l'urne.

            La probabilité de tirer 2 boules blanches et une boule noire  est:

    21 / 40                              ( 7 / 10 ) × ( 6 / 9 )× ( 1 / 3 )               ( 7 / 10 )× ( 7 / 10 )× ( 1 / 3 )

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            Réponse:  

                        21 / 40

            En effet:

              L'univers des possibles  Ω est l'ensemble de combinaisons

              de  3 boules prises parmi les 10 boules de l'urne.

               Donc    Card( Ω  ) = C10 3    =  120  = 40   ×   3

              On est dans une situation d'équiprobabilité.

              Soit A l'événement avoir deux boules blanches et une boule noire.

                  P( A ) =  Card( A ) / Card( Ω  )

                 Tout élément de A  est la réunion d'une partie de deux boules blanches avec

                 une partie de une boule noire.

                Ainsi   Card( A ) =    C7    ×  C3        =   21    ×    3

                 Donc

                   Conclusion : P( A ) = 21 /  40

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       2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, puis

           on la remet dans l'urne; On procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise.

           La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

          ( 33   ×  72 ) / 105               C5 2    × ( 3 / 10 )2  × ( 7 / 10 )3                 C2   × (   3 / 10  ) 3  ×  (  7 / 10  )2

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   Réponse:    La bonne réponse est la trosième proposition.

                         C2   × (   3 / 10  ) 3  ×  (  7 / 10  )2 

               En effet: 

              L'univers des possibles  Ω est l'ensemble des suites finies de 5 boules 

              de l'ensemble des 10 boules de l'urne.

               Donc    Card( Ω  ) = 10 5   

               On est dans une situation d'équiprobabilité.        

               Soit A l'événement avoir 3 boules noires et 2 boule noire.

                  P( A ) =  Card( A ) / Card( Ω  )

                 On a      Card( A ) =     C5 2   ×  33   ×  72

                 Il faut tenir compte qu'il faut réserver 2 places parmi  5 places pour les

                   2 boules blanches.

                Donc      P( A ) = (  C5 2   ×  33   ×  72    )  /   10

               c-à-d   

                Conclusion :    P( A ) =  C5 2   ×  ( 3 / 10 )3   × ( 7 / 10)2

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     3.   Dans la même urne , on tire une seule boule.

               Si  elle est blanche, on lance un dé cubique ( dont les faces sont numérotées de 1 à 6 ).

               Si  elle est noire, on lance un dé tétraédrique  ( dont les faces sont numérotées de 1 à 4 ). 

               On suppose les dés équilibrés.

               Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.

              Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré

              une boule blanche est égale à :

  7 / 60          14 / 23          [ ( 7 / 10 ) × ( 1 / 6 )  ] /  [ ( 1 / 2 ) × ( 1 / 6 ) + ( 1 / 2 ) ×( 1 / 4 ) ]     

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   Réponse:

                    La bonne réponse est  la seconde réponse 

                                              14 / 23

            En effet:

           Soit G l'événement " Gagné ".

           Soit N l'événement " on a tiré une boule noire".

           Soit B l'événement " on a tireé une boule blanche" .

          Soit V l'événement " avoir la face  1 ".

           On cherche  P ( B / G ) .

           Or      P ( B / G ) =  P( B   ∩ G   ) / P( G )      

            Donc il nous faut déjà trouver  P( G ).

         •   On peut faire un arbre avec deux branches qui mènent à G.              

             /------------- B --------------  V 

             \-------------- N  ------------  V

           On a :      G = ( N  ∩ V )  U ( B   ∩ V )

          Comme     ( N  ∩ V )  ,  ( B   ∩ V ) sont disjoints on a :

                     P( G )  = P (  N  ∩ V )  + P ( B   ∩ V )

          c'est - à- dire   comme P( N ) et P( B ) non nulles

                                    P( G ) = P( N ) ×  P( V / N ) + P( B ) ×  P( V / B )

         c-à-d                P( G ) = ( 3 / 10 )  ×  ( 1 / 4 )  + ( 7 / 10 ) ×  ( 1 / 6 )

        • D'autre part : 

                                  P ( B / G ) =   P( B   ∩ G   ) / P( G )

             c-à-d          P ( B / G ) =  ( P( B ) × P( G / B )  ) / P( G )

        P( B / G )   (  (  7 / 10 ) ×  ( 1 / 6 ) ) /   [ ( 3 / 10 )  ×  ( 1 / 4 )  + ( 7 / 10 ) ×  ( 1 / 6 ) ]

       c-à-d

          P( B / G )  = ( 7 / 60 )  / (  (  9 + 14)    / 120 ) )

          c-à-d

           P( B / G )   = 7 /   ( 23 /  2 ) =  14 / 23

        Conclusion :    P( B / G ) = 14 / 23