INFO 2 INTERRO DERI-LIMI 1S

         INFO 2          PROJET  D' INTERROGATION                10  AVRIL  2010

 NOM :    ................     PRENOM:  .....................DATE:    ...........    Classe: 1S1 

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    • Soit  la fonction h: x  → ( - x2 + x + 1 ) / ( x + 1 )  définie sur IR- { - 1 }.

  • • Donner  lim - 1 / ( x + 1 ).

                     x  → +  ∞

.      On a :    lim - 1 / ( x + 1 ) = - 1 / ( +  ∞ ) = 0

                        x  → +  ∞

        Ainsi :   

          Conclusion:       lim - 1 / ( x + 1) = 0

                        x  → +  ∞

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 • • La droite D: y = - x + 2  est-elle une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞ ? 

   Soit x dans IR - { - 1 }.           

- x2 + x + 1 |  x + 1
- ( - x2  - x ) |  - x + 2
           2 x + 1 |
       - ( 2 x + 2 ) |
                 - 1 |
             Donc :  - x2 + x +1  =  ( - x + 2 ) ( x + 1) - 1

 

             Par division par x + 1 on obtient :

                       h( x ) = - x + 2 -  1 / ( x + 1 )

                 Ainsi :       h( x ) - ( - x + 2 )  = -  1 / ( x + 1 )    

                 D'après la limite précédente  on a :

                         lim  [  h( x ) - ( - x + 2 )   ] = 0

                                x  → +  ∞

                     Conclusion :  

                         OUI . La droite D : y = - x + 2   est une asymptote

                         à la courbe ( C ) de h en + ∞                 

 

  • • Donner les positions relatives de ( C ) et D sur  IR- { - 1 }.

                • Soit x dans  ]  - ∞ , - 1 [  .     

       On a :      x < - 1    c-à- d       x + 1 < 0 

       Donc          - 1 / ( x + 1 )  > 0

       c-à-d     h( x ) -  ( - x + 2 ) > 0

          Ainsi :

          Conclusion : 

    Sur  ]-  ∞  ,  - 1 [  la courbe ( C ) est  au dessus de D.

          • Soit x dans  ]  - 1, +∞  [  .

 

 

 

 

 

 

 

 

         On a :      x > - 1    c-à- d       x + 1 > 0 

       Donc          - 1 / ( x + 1 )  < 0

       c-à-d     h( x ) -  ( - x + 2 ) < 0

          Ainsi :

          Conclusion : 

           Sur  ]  - 1 , +  ∞[  la courbe ( C ) est  en  dessous de D.

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