INFO DV MAISON TS2 5/12/11
EXERCICE 31 page 58
Déterminer les limites en a des fonctions données.
f: x → ( √(x2 + 4 ) - 2 ) / x pour a = 0
g: x → sin( 2 x) / ( x - π ) pour a = π
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Réponse :
• Pour lim f( x )
x → 0
Pour x = 0 on a √(x2 + 4 ) = 2
Soit x non nul .
On a : f(x ) = ( √(x2 + 4 ) - √( 02 + 4 ) ) /( x - 0 )
Soit u : x → x2 + 4
On veut le nombre dérivé de la fonction √u en 0.
u étant définie , dérivable et strictement positive sur IR,
la fonction √u est définie et dérivable sur IR et en particulier en 0.
(√u ) ' = u ' / ( 2 √u )
On a : u ' : x → 2 x
Donc (√u ) ' : x → 2 x / ( 2 √(x2 + 4 ) )
c-à-d (√u ) ' : x → x / √(x2 + 4 )
(√u ) ' s'annule en x = 0
Donc la limite cherchée est 0.
Conclusion : lim f( x ) = 0
x → 0
• Pour lim g( x ) :
x → π
On sait que : sin( 2 π ) = 0
Soit x ≠ π
On a : g( x ) = (sin( 2 x ) - sin( 2 π ) ) / ( x - π )
Nous voulons donc le nombre dérivé en π
de la fonction k : x → sin( 2 x )
Or k est définie et dérivable sur IR donc en particulier en π.
k ' : x → 2 cos ( 2 x ) sur IR
Donc : k ' ( π ) = 2 cos( 2 π) = 2 ×1 = 2
Ainsi : lim sin( 2x ) / ( x - π ) 2
x → π
Conclusion : lim g( x ) = 2
x → π
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