EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE 1S AVRIL 2009
EXERCICE 14
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit EFG un triangle quelconque.
Soit O le milieu du segment [ EG ] .
Soit EO = 3
Soit H le projeté de F sur la droite ( EG ) .
Soit OH = 2.
Calculer la différence : FE² - FG² .
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Réponse :
On a : FE² - FG² = ( vect( FE ) )² - ( vect( FG ) )²
c-à-d FE² - FG² = ( vect( FE ) + vect( FG ) ) . ( vect( FE ) - vect( FG ) )
c-à-d FE² - FG² = ( vect( FE ) + vect( FG ) ) . ( vect( FE ) - vect( FG ) )
Mais vect( FE ) + vect( FG ) = 2 vect ( FO ) comme O est le milieu de [ EG ].
Donc FE² - FG² = 2 vect ( FO ) . ( vect( FE ) + vect( GF ) )
c-à-d FE² - FG² = 2 vect ( FO ) . vect(GE ) d'après Chales .
Mais le vecteurs vect ( FO ) se projette orthogonalement sur le vecteur vect( GE )
suivant le vecteur vect( HO ).
Donc FE² - FG² = 2 vect( HO ). vect( GE )
Les vecteurs vect( HO) et vect( GE ) sont colinéaires et de même sens .
Ainsi : FE² - FG² = 2 HO × GE
On a : OH = 2
O est le milieu de [ EG ] avec EO = 3 d'où GE = 6.
Donc: FE² - FG² = 2 ×2 × 6 = 24
Conclusion : FE² - FG² = 24
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