EX 14 PROD SCAL 1S AVRIL 09

  EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE   1S AVRIL 2009

   EXERCICE 14

            Le plan est muni d'un repère orthonormal.

            Soit EFG un triangle quelconque.

            Soit O le milieu du segment [ EG ] .

            Soit EO = 3

           Soit H le projeté de F sur la droite ( EG ) .

           Soit OH  = 2.

           Calculer  la différence :  FE² - FG² .

     

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            Réponse :

              On a :    FE² - FG²  = ( vect( FE ) )² - ( vect( FG ) )²

                  c-à-d       FE² - FG²   = ( vect( FE ) +  vect( FG ) ) . ( vect( FE ) -  vect( FG ) ) 

                  c-à-d       FE² - FG²   = ( vect( FE ) +  vect( FG ) ) . ( vect( FE ) -  vect( FG ) ) 

                       Mais   vect( FE ) +  vect( FG ) = 2 vect ( FO )  comme O est le milieu de [ EG ].

                  Donc       FE² - FG²   =  2 vect ( FO ) .  ( vect( FE ) + vect( GF ) )

                  c-à-d   FE² - FG²   =  2 vect ( FO ) vect(GE )       d'après Chales .

                  Mais le vecteurs  vect ( FO )  se projette orthogonalement sur le vecteur  vect( GE )

                  suivant le vecteur  vect( HO ).

                    Donc                FE² - FG²   = 2 vect( HO ). vect( GE )

                    Les vecteurs   vect( HO)  et vect( GE ) sont colinéaires et de même sens .

                     Ainsi : FE² - FG²   = 2  HO × GE

                      On a :    OH = 2

                      O est le milieu de [ EG ]   avec EO = 3 d'où GE = 6.

                       Donc:    FE² - FG²   = 2 ×2  × 6 = 24

         Conclusion :   FE² - FG²   =  24

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