INFO DS n° 4 1S1

   INFO  DS n° 4    1S1             19  décembre 2009       

NOM :   ……            Prénom :    …..      Classe : 1S1       Date : 19  déc. 09      DS n°4   

 • ABC est un triangle équilatéral direct.

   Donner une mesure en radians de l’angle orienté

 .

 

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    Réponse:

                                     

         On a :  (   ,   ) = - 2 Π / 3   [ 2 Π ]     et  (   ,     ) = - Π / 4   [ 2 Π ] 

           Nous voulons utiliser la relation de Chasles pour les angles orientés.

            Les vecteurs qui forment l'angle orienté   n'ont pas d'origine

            ni d'extrémité commune.

            Nous devons considérer un vecteur  intermédiaire qui fasse intervenir

            l'un des points A ou C comme origine et l'un des points E ou O comme

             extrémité.

             Prenons le vecteur  .

                 On a d'après Chasles :

                    = (      ,  ) + (   ,     )   [ 2 Π ]

           c-à-d

                  = (  -  ,   ) + (   ,     )   [ 2 Π ]

            c-à-d 

                 = ± Π + (   ,   ) + (   ,     )   [ 2 Π ]    

            c-à-d

                  =  Π + (   ,   ) + (   ,     )   [ 2 Π ]   

      Or   (   ,   ) = - 2 Π / 3   [ 2 Π ]     et  (   ,     ) = - Π / 4   [ 2 Π ]  

             Donc :

             

    Conclusion:           = Π / 12  [ 2 Π ]

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 • Soit la somme  . Trouver A.

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  Réponse:

             On a :  A = cos( Π +  Π / 6 ) + cos (  Π / 6 ) - cos(  Π -  Π / 3 ) + sin(  Π -  Π / 6 )

             c-à-d    A = - cos(  Π / 6 ) + cos(  Π / 6   )  - ( - cos(  Π / 3 ) ) + sin(  Π / 6 ) 

            c-à-d       A = cos(  Π / 3 ) + sin(  Π /  6 ) = 1 / 2  + 1 / 2  = 1

            c-à-d       A = 1     

   Conclusion:   A = 1

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    •Le plan est  muni du  repère orthonormal ( O ;  ) direct . Soit  les points et   

      relativement au pôle O et à . Donner les coordonnées cartésiennes de A et B. Placer A.

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 Réponse:

 

   Pour A:        On a :

    xA = 3 cos( 5  Π / 4) = 3  cos(  Π  +  Π / 4) = 3 ( - cos (  Π / 4 )  ) = - 3 cos (  Π / 4 ) 

    yA = 3 sin( 5  Π / 4) = 3 sin(  Π  +  Π / 4) = 3 ( - sin (  Π / 4 )  ) = - 3 sin (  Π / 4 ) 

          Ainsi :     xA = - 3 √2 / 2

                            yA =- 3 √2 / 2

   Pour B:        On a :         

 xB = 2 cos (4  Π / 3 ) =  2 cos(  Π +  Π / 3 ) =  2 ( - cos Π / 3 ) = - 2 cos( Π / 3 ) = - 2 ( 1 / 2 )

 yB = 2 sin ( 4  Π / 3 ) = 2 sin(  Π +  Π / 3 ) = 2  ( - sin  Π / 3  ) ) = - 2 sin (  Π / 3 )= - 2 ( √ 3 / 2 )

              Ainsi :    xB =  - 1

                       yB =  -  √3 

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•  Le plan est  muni du  repère orthonormal ( O ;  )  direct . Donner des coordonnées  

   polaires du point relativement au pôle O et  à .

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 Réponse:

            On a:      OC = √ ( ( 3√ 3 )² + ( - 3 )²   ) =√ 36 = 6

         Considérons un réel θ tel que:

                         cos θ = ( 3√ 3 ) / 6 = √ 3  / 2

                          sin θ = ( - 3 ) / 6    = - 1 / 2

               θ = -  Π / 6

       Ainsi :  

             Conclusion :   C[ 6 ; - Π / 6 ] 

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•Résoudre dans IR  l’équation:

 

         On a :   cos 2x = cos Π / 6

     c-à-d     2 x  = Π / 6   [ 2 Π ]  ou  2 x = - Π / 6   [ 2 Π ]

   c-à-d     x  = Π / 12   [  Π ]  ou   x = - Π / 12   [  Π ]

     Conclusion:

   S = {  Π / 12 + k Π   /  k dans Z } U { - Π / 12 + k Π   /  k dans Z }

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•  Résoudre dans IR  l’équation:    2 x² + x - 1 = 0 .

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   Réponse:  

             - 1 est une racine évidente car   2 - 1 = 1

              L'autre racine est donc - c / a = - ( - 1 ) / 2 = 1 / 2

        Conclusion: S = {  - 1 ; 1 / 2 } 

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• Puis résoudre dans IR : 2 cos² x + cos x - 1 = 0 

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   Réponse:  

       L'équation donnée équivaut à :

                X = cos x

                2 X² + X - 1 = 0

  c-à-d

                  X = cos x

                 X = - 1 ou X = 1 / 2

  c-à-d      cos x = - 1        ou       cos x = 1 / 2

  c-à-d        x = Π   [ 2  Π ]     ou      cos x = cos  Π / 3

  c-à-d     x = Π   [ 2  Π ]     ou      x =  Π / 3   [ 2  Π ] ou  x = -  Π / 3   [ 2  Π ]

  Conclusion: 

  S = {  Π  + 2 k Π   / k dans Z } U {  Π / 3  + 2 k Π   / k dans Z }   U { - Π /3 + 2 k Π   / k dans Z }

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•Résoudre dans IR l’équation cos ( 2 x – Π) = .

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 Réponse:

            On a :  cos ( 2 x – Π) = cos ( Π/ 6 )

 c-à-d

         2 x – Π =  Π/ 6    [ 2 Π ]        ou    2 x – Π  = - Π/ 6   [ 2 Π ]   

 c-à-d

          2 x =  Π +  Π/ 6    [ 2 Π ]        ou    2 x =  Π  - Π/ 6   [ 2 Π ]  

  c-à-d

          2 x =  7 Π/ 6    [ 2 Π ]        ou    2 x =  5 Π/ 6   [ 2 Π ]  

  c-à-d

            x =  7 Π/ 12    [  Π ]        ou    x =  5 Π/ 12   [  Π ]   

    Conclusion: 

          S = {  7 Π/ 12  +   kΠ     /  k dans Z } U {  5 Π/ 12 + k Π    /    k dans Z }

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•  Montrer que pour tout réel x:

 

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  Réponse:

  On a :

           cos( x -  Π / 4 ) = cos x cos ( Π / 4 ) + sin x   sin (  Π / 4 )

 c-à-d  

         cos( x -  Π / 4 ) = cos x  ( √2 / 2 )  + sin x  ( √2 / 2 ) 

 c-à-d   

         cos( x -  Π / 4 ) = ( √2 / 2 ) ( cos x  + sin x  )

  c-à-d

          Conclusion: 

                          

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