INFO 2 FEUILLE 1 D'EXERCICES SU LES NOMBRES COMPLEXES TS
7.
Soit les points A( - i ) et B( 2 ).
Trouvons les affixes des points C et D de façon que le quadrilatère ABCD soit un carré ( direct ).
( Comme nous ne disposons pas encore des rotations nous allons raisonner de façon conventionnelle.)
Le point D est l'un des deux points d'intersection du cercle ( Γ ) de
centre A et de rayon AB avec la droite L passant par A et de vecteur normal vect( AB ).
Nous allons chercher les équations de ( L ) et ( Γ ) .
• On a : zB - zA = 2 - ( - i ) = 2 + i
Donc | zB - zA |= √( 2² + 1² ) = √5
Ainsi AB = √5
D'où le cercle ( Γ) admet comme équation :
( x - 0 )² + ( y -( -1 ))² = ( √5 )²
c-à-d x² + ( y + 1 )² = 5
c-à-d x² + y² + 2 y + 1- 5 = 0
c-à-d x² + y² + 2 y - 4 = 0
•
Le vecteur vect( AB ) a pour coordonnées ( 2 ; 1 ).
Donc la droite ( L ) admet une équation de la forme
2 x + y + c = 0
Mais les coordonnées du point A vérifient cette équation.
Donc 2 ( 0 ) + ( - 1 ) + c = 0
c-à-d c = 1
L'équation de la droite ( L ) est : 2 x + y + 1 = 0
Considérons à présent le système des deux équations.
x² + y² + 2 y - 4 = 0 ( 1 )
2 x + y + 1 = 0 ( 2 )
c-à-d
x² + y² + 2 y - 4 = 0 ( 1 )
y = - 2 x - 1
c-à-d
x² +( - 2x - 1 )² + 2 ( - 2 x - 1 ) - 4 = 0
y = - 2 x - 1
c-à-d
x² + 4 x² + 1 + 4x - 4 x - 2 - 4 = 0
y = - 2 x - 1
c-à-d
5 x² - 5 = 0
y = - 2 x - 1
c-à-d
x² - 1 = 0
y = - 2 x - 1
c-à-d
x = 1 ou x = - 1
y = - 2 x - 1
c-à-d
x = 1 et y = - 3
ou x = - 1 et y = 1
On retient: D( - 1 ; 1 )
Conclusion : On a le point D( - 1 + i )
Le point C est tel que : vect ( AB ) = vect( DC )
Cela se traduit au niveau des affixes par:
2 + i = zC - ( - 1 + i )
2 + i - 1 + i = zC
Ainsi : zC = 1 + 2 i
Conclusion : On a le point C( 1 + 2 i )
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