INFO 2 FEUILLE 1 EX NOMB. COMPLEXE

INFO 2 FEUILLE 1 EX NOMB. COMPLEXE

                 INFO 2 FEUILLE 1 D'EXERCICES SU LES NOMBRES COMPLEXES            TS  

           7.

                               Soit les points A( - i ) et B( 2 ).

                        Trouvons les affixes des points C et D de façon que le quadrilatère ABCD soit un carré ( direct ).

                    ( Comme nous ne disposons pas encore des rotations nous allons raisonner de façon conventionnelle.)

                                  

               Le point D est l'un des deux points d'intersection du cercle ( Γ ) de

              centre A et de rayon AB  avec la droite L passant par A et de vecteur normal vect( AB ).

               Nous allons chercher les équations de ( L ) et ( Γ ) . 

         •       On a :  z- zA = 2 - ( - i ) = 2 + i

                     Donc      | z- zA |= √( 2² + 1² ) =  √5

                    Ainsi     AB =  √5

             D'où le cercle (  Γ) admet comme équation :

                            ( x - 0 )² + ( y -( -1 ))² = (  √5 )²

          c-à-d            x²  + ( y + 1 )²  = 5

          c-à-d          x² + y² + 2 y + 1- 5 = 0

           c-à-d             x² + y² + 2 y - 4 = 0 

           •  

         Le vecteur vect( AB ) a pour coordonnées ( 2 ; 1 ).

             Donc la droite ( L ) admet une équation de la forme

               2 x + y + c = 0

              Mais les coordonnées du point A vérifient cette équation.

             Donc   2 ( 0 ) + ( - 1 ) + c = 0

            c-à-d      c = 1

           L'équation de la droite ( L ) est :   2 x + y + 1 = 0

          Considérons à présent le système des deux équations.

                                   x² + y² + 2 y - 4 = 0      ( 1 )

                                    2 x + y + 1 = 0               ( 2 )

                  c-à-d 

                                 x² + y² + 2 y - 4 = 0      ( 1 )

                                 y = - 2 x - 1       

                    c-à-d 

                                   x² +( - 2x - 1 )² + 2 ( - 2 x - 1 ) - 4 = 0

                                    y = - 2 x - 1

                     c-à-d  

                                      x² + 4 x²   + 1 + 4x - 4 x - 2 - 4 = 0

                                      y = - 2 x - 1

                          c-à-d

                                   5 x² - 5 = 0

                                    y = - 2 x - 1

                   c-à-d

                                  x² - 1 = 0

                                     y = - 2 x - 1

                          c-à-d  

                                     x = 1 ou x = - 1

                                       y = - 2 x - 1

                              c-à-d

                                x = 1  et y = - 3

                               ou  x = - 1 et y = 1

             On retient:    D( - 1 ; 1 )

                 Conclusion :  On a le point D( - 1 + i )

            Le point C est tel que :   vect ( AB ) = vect( DC )

           Cela se traduit au niveau des affixes par:

                           2 + i = zC - ( -  1 + i )

                          2 + i - 1 + i =  zC

             Ainsi :      zC   = 1 + 2 i

                    Conclusion :  On a le point C( 1 + 2 i )

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