INFO TEST n° 4 LOGIQUE

NOM:   INFO                    Prénom:               Classe:   BTS            Date: .........sept 2009

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•Traduire sans le symbole => la propriété :   2 x + 1> 0 => 2 - x < 0  où x est dans IR.

              Cela donne:   2 x + 1 ≤ 0 ou 2- x < 0

     Pour quelles valeurs de x est-elle vraie?

           Elle équivaut à :

                  x  ≤  - 1 / 2    ou   x  > 2

         Conclusion:   SIR =    ] - ∞ , - 1 / 2 ] U ] 2 , + ∞ [

• Soit a et b deux réels.

••Traduire avec un connecteur ( a , b ) ≠ ( 0 , - 1 ).

           C'est:         NON ( a = 0  et  b = - 1)

              c'est-à-dire

        Conclusion:   a  ≠ 0  ou b  ≠ - 1 

•• Traduire avec un connecteur  a × b = 0.

         Une formule connue est :

        " Un produit de facteurs est nul

           si et seulement si l'un d'eux au moins est nul"

        Conclusion:       a = 0  ou b = 0  

•Compléter le tableau de vérité.  ( LOIS de MORGAN )

p q Non p Non q p ou q Non( p ou q ) (Non p) et (Non q )  p et q Non ( p et q ) (Non p )ou (Non q )
0 0    1     1    0     1    1   0    1   1
0 1    1     0    1      0    0   0    1   1
1 0    0     1    1     0    0   0    1   1
1 1    0      0    1     0    0   1    0   0

  A-t-on  Non( p ou q )   logiquement équivalent à (Non p) et (Non q ) ?  OUI

                car elles ont les mêmes colonnes dans le tableau précédent.

  A-t-on  Non( p et  q )   logiquement équivalent à (Non p) ou (Non q ) ?  OUI.

              car elles ont les mêmes colonnes dans le tableau précédent.

•Donner la négation de la proposition:   x + 3 < 0  =>  5 - 2 x ≥ 0.

( On pourra utiliser ce qui précède. )    

    L'implication donnée est:   Non( x + 3 <  0  )   ou     5 - 2 x ≥ 0

   La négation est donc :    NON( NON ( x + 3 <  0  ) )  et  Non(   5 - 2 x ≥ 0  )

                            c-à-d      x + 3 < 0  et  ( 5 - 2 x < 0  )

                            c-à-d     x < - 3   et    5 <  2 x

                            c-à-d     x < - 3   et   5 / 2 <  x  

      Conclusion:     x < - 3    et    x  > 5 / 2     

• Soit la phrase " Pour tout réel x il existe un entier relatif n

  tel que  n ≤ x  et x < n + 1 " .

   •• Traduire de façon symbolique cette phrase.

     

   •• Donner sa négation:

      

• Soit x dans l'intervalle ] 0 , +∞ [ .Compléter le tableau:

2 x + 1 >0 x+ 3< 0 2 x + 1 >0   => x+ 3<0
     1        0        0

           Quand 2 x + 1 > 0  c'est que x > - 1 / 2

           Dans ce cas  il est impossible d'avoir x < - 3

           Cela rend  l'implication impossible.

• Donner la négation de la proposition:

  

     La négation est :   

         

 • Résoudre dans IR l'inégalité suivante  ( 2 x + 1 ) ( x + 1) < 0

          ( 2 x + 1 ) ( x + 1) est une  forme factorisée  d'un trinôme du second degré

         qui s'annule quand  x = - 1 / 2  ou x = - 1

          Avec un tableau de signes ou une règle connue on a:                  

                       Conclusion   SIR = ] - 1 , - 1 / 2 [