AIDE DV n° 4 du 8 nov 2014 TS1

                           AIDE DV n°4   du 08 novembre 2014 TS1

             Vous pouvez vous inspirer de l'exercice  n ° 5 suivant            

          EX.5     

                                    Soit   z = 1 + i        et     z ' = 1 + i √3         deux nombres complexes.

                          1.  Mettre z  et  z'    sous une forme trigo.et sous forme exponentielle.

                          2.  Donner la forme algébrique et une forme trigo. de   z z' .

                          3.  En déduire que :      

                                                                cos ( 7  π  / 12 ) = ( 1 - √3)  / ( 2 √2 )  

                                                    et         sin(  7  π  / 12 ) =  ( 1 + √3 )  / ( 2 √2 )  

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        Réponse:  

      1.     On obtient facilement:

                  z = 1 + 1  i

                                     On a :           | z | = √2     

                                     On  pose:    cosα  = 1 / √2

                                                          sin α   = 1 / √2

                                     On obtient     α =  π  / 4     ( 2  π )

                                       d'où:

             conclusion :   z =  √2 ( cos( π  / 4 )  + i sin(  π  /4 )  )   =  √2  e iπ / 4

                •   z ' = 1 + i √3  

                                      On a :              | z ' | = 2

                                      On pose:                                              

                                                       cosα  = 1 / 

                                                       sin α   = √3 / 2                            

                                      On obtient     α =  π  / 3     ( 2  π )

                                       d'où:

              Conclusion :   z ' = 2 (    cos (  π  / 3  )  + i sin(   π  / 3  )  )    =  2   e i π / 3            

       2.     Puis à partir des formes exponentielles et du cours :

                                      • Le module du produit  z z ' est le produit des modules de z et z '.

                                      • Un argument  du produit  z z ' est la somme d'un argument de

                                      z et d'un argument de z '   à un multiple de  2  π près.

                                      Donc:             z z '  = 2√2  e7 π i / 12

                                       Ainsi une forme trigo. de z z ' est : 

                      conclusion:     z z '  =   ( 2 √2 )  ( cos  ( 7  π  / 12 ) + i  sin( 7  π  / 12 ) )

                                      D'autre part directement à partir des formes algébriques de z er z' :    

                                      on a  :              z z '  = ( 1 + i )  ( 1 + i √3 )  = ( 1 - √3 ) + i (  1 + √3 ) 

                                      c-à-d  

                      Conclusion:       z z '  =  ( 1 - √3 ) + i (  1 + √3 ) 

         3.      Conséquence:      

                                        On a deux écritures algébriques de z z ' :  

                                       • L'une à partir des formes algébriques de z et z' .

                                                          z z '  = ( 1 - √3 ) + i (  1 + √3

                                       • L'autre à partir de la formes trigo. de z z'

                                                          z z '  =   ( 2 √2 ) cos  ( 7  π  / 12 ) + i  ( 2 √2 )  sin( 7  π  / 12 ) )                                            

                                        Sachant que deux nombres complexes égaux ont la même  partie réelle

                                        et la même partie imaginaire on a :

                                                    1 - √3  =    ( 2 √2 ) cos  ( 7  π  / 12 )

                                                    1 + √3     =  ( 2 √2 )  sin( 7  π  / 12 ) )          

                                c-à-d

                              Conclusion:                   cos ( 7  π  / 12 ) = ( 1 - √3)  / ( 2 √2 )  

                                                           et         sin(  7  π  / 12 ) =  ( 1 + √3 )  / ( 2 √2 )  

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